Триъгълник и точка от вътрешността

[Гост]

Даден е триъгълник $ABC$, в който [tex]\angle BAC = 60 ^\circ[/tex] и $AL$ е ъглополовяща, като [tex]L \in BC[/tex]
Точка $D$ е от вътрешността на [tex]\triangle ABL[/tex] .
[tex]DP\bot AL (P \in AL) , DN \bot AC ( N \in AC)[/tex].Точка $K$ е среда на отсечката $AD$.
Докажете,че:
а) [tex]\triangle KPN[/tex] е равностранен;
б) $PN > PD$

[Гост]

Четириъгълника ADPN е вписан в окръжност с център K.

[Гост]

Четириъгълника ADPN е вписан в окръжност с център K.

Идеята е хубава,но вписани четириъгълници се изучават в 8 клас,а тази задача трябва да се реши със знания за 7 клас.Тя е за НВО 7 клас.

[Гост]

Ми добре. Ще я решат тия които знаят за вписани 4-ци.

[Гост]

И не видех къде пише, че е за 7 клас.

[Гост]

Аха, видех!

[S.B.]

Даден е триъгълник $ABC$, в който [tex]\angle BAC = 60 ^\circ[/tex] и $AL$ е ъглополовяща, като [tex]L \in BC[/tex]
Точка $D$ е от вътрешността на [tex]\triangle ABL[/tex] .
[tex]DP\bot AL (P \in AL) , DN \bot AC ( N \in AC)[/tex].Точка $K$ е среда на отсечката $AD$.
Докажете,че:
а) [tex]\triangle KPN[/tex] е равностранен;
б) $PN > PD$

Без заглавие (20).png (299.86 KiB) Прегледано 865 пъти

а)
Нека [tex]\angle DAL = \alpha < 30 ^\circ[/tex] (защото т. $D$ е вътрешна за [tex]\angle BAL[/tex]
[tex]DP \bot AL \Rightarrow \triangle ADP[/tex] е правоъгълен
$K$ е среда на $AD$ [tex]\Rightarrow PK[/tex] е медиана към хипотенузата $AD$
[tex]\Rightarrow AK = KP = KD, \angle PAK = \angle APK = \alpha \Rightarrow \angle PKD = 2 \alpha[/tex]

[tex]DN \bot AC \Rightarrow \triangle ADN[/tex] е правоъгълен
Аналогично $DN$ е медиана към хипотенузата $AD$
[tex]\Rightarrow AK = KN = KD, \angle KAN = \angle ANK = \alpha + 30 ^\circ \Rightarrow \angle NKD = 2( \alpha + 30 ^\circ )[/tex]

[tex]\begin{cases} AK = KN = KD \\ AK = KP = KD \end{cases} \Rightarrow KN = KP \Rightarrow \triangle KNP[/tex] е равнобедрен

[tex]\angle NKP = \angle NKD - \angle PKD \Leftrightarrow \angle NKP = 2( \alpha + 30 ^\circ ) - 2 \alpha = 2 \alpha + 60 ^\circ - 2 \alpha = 60 ^\circ[/tex]
Получи се, че [tex]\triangle NKP[/tex] е равнобедрен и има ъгъл равен на [tex]60^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \triangle NKP[/tex] е равностранен

б)
Точката $D$ е вътрешна за [tex]\angle LAB \Rightarrow \angle LAD < 30 ^\circ[/tex]
[tex]\angle LAD = \alpha \Rightarrow \alpha < 30 ^\circ \Rightarrow 2 \alpha < 60 ^\circ[/tex]
От [tex]\triangle APD:[/tex]
[tex]\angle PAD = \alpha \Rightarrow \angle ADP = 90 ^\circ - \alpha[/tex]
[tex]\alpha < 30 ^\circ \Rightarrow 90 ^\circ - \alpha > 60 ^\circ[/tex]

В [tex]\triangle KPD:[/tex]
$PD$ лежи срещу [tex]\angle PKD = 2 \alpha < 60 ^\circ ,[/tex] а $KP$ срещу [tex]\angle KDP = 90 ^\circ - \alpha > 60 ^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow DP < KP[/tex]
Но [tex]\triangle KPD[/tex] е равностранен и $KP = PN$ [tex]\Rightarrow DP < PN[/tex]

[ptj]

Задачата завоялирано е направена по-трудна отколкото е в действителност.

Причината е, че точките [tex]C[/tex] и [tex]B[/tex] умишлено са преместени...

Всъщност е ексвивалента на следната:
-------------------------------------------------
В равностранен триъгълник [tex]ABC[/tex], точка [tex]P[/tex] е среда на [tex]AB[/tex].
Върху отсечката [tex]PB[/tex] e взета точка [tex]D[/tex], различна от краищата й.
От нея е спуснат перпедикуляр [tex]DN[/tex] към [tex]AC[/tex].
Точка K e среда на AD.

Докажете,че:
а) △KPN е равностранен;
б) PN>PD

---------------------------------------------------------------------
Може и още по кратко:

Докажете, че ако в остроъгълен триъгълник с един от ъглите е равен на [tex]60^\circ[/tex], то съответната среда на срещуположната страна и петите на височините спуснати от другите два върха образуват равностранен триъгълник.