Триъгълник

[Гост]

Височините AA1и BB1 на остроъгълния триъгълник се пресичат в точка H. Ако CH=2A1В1,докажете че ъгъл ACB=30.

[KOPMOPAH]

Триъгълник с две височини.png (12.25 KiB) Прегледано 821 пъти

Нека $D$ е средата на $CH$. Червените триъгълници $\triangle B_1HC$ и $\triangle A_1HC$ са правоъгълни, сините отсечки са техни медиани, следователно $B_1D=\frac 12 CH$ и $A_1D=\frac 12 CH$. Но по условие $CH=2A_1B_1$, следователно $\triangle A_1B_1D$ е равностранен и $\sphericalangle B_1DA_1=60^\circ$. Зелените ъгли са равни, червените са равни, синият е външен за $\triangle B_1DC$, следователно $\sphericalangle B_1DH=\sphericalangle B_1CD+\sphericalangle DB_1C$. Аналогично $\sphericalangle A_1DH=\sphericalangle A_1CD+\sphericalangle DA_1C$. Следователно сумата на два зелени и два червени ъгъла е $60^\circ$, значи един зелен и един червен (колкото е при върха $C$) правят $30^\circ$.