Задача за намиране на дължини - втори модул

[Гост]

В правоъгълният ΔABC(∢C = 90) височината CH и ъглополовящата AL се пресичат в точка О. Ако
AO=OL и CB=15 см, намерете дължините на OH и CL .

[Гост]

Някой може ли да помогне за тази задача

[pal702004]

Щом като $AO=OL$ то $AO=OL=OC$ понеже $ \triangle ALC$ е правоъгълен.

Нека $\angle A= 2 \alpha$ и се разделя от ъглополовящата. От равнобедрения $\triangle AOC$ получаваме, че височината разделя правия $\angle C$ на $\alpha$ и $90-\alpha$

Понеже $\angle B=90-2\alpha$ то за правоъгълния $\triangle CHB$ получаваме $90-\alpha+90-2\alpha=90$. Тоест, $\alpha=30$, или $\angle A=60,\;\angle B=30$

От правоъгълния $\triangle ALC$ получаваме $CL=\dfrac 1 2 AL$
От равнобедренния $\triangle ABL$ получаваме $AL=LB$

Или, $CL=\dfrac 1 2 LB$. По условие имаме $CL+LB=15$, откъдето $CL=5,\;LB=10$ см.

$AL=LB=10\Longrightarrow AO=OL=OC=5$

$CH=\dfrac 1 2 CB=7,5$

$OH=CH-OC=2,5$ см.

[Гост]

Благодаря!