Геометрична зад.

[Гост]

Правоъгълните ∆АВС ( ъгъл С е 90°) и ∆ABD са с обща хипотенуза AB. Точката С е от симетралата на отсечка АВ и ъгъл BAD : ъгъл ABD е 1:5 .
Ако т.М е среда на отсечката АВ и DM е 5 см то намерете::
а) дължината на отсечката АВ и лицето на ∆ АВС
б)градината мярка на ъгъл BAD и лицето на ∆ ABD

[ammornil]

Правоъгълните ∆АВС ( ъгъл С е 90°) и ∆ABD са с обща хипотенуза AB. Точката С е от симетралата на отсечка АВ и ъгъл BAD : ъгъл ABD е 1:5 .
Ако т.М е среда на отсечката АВ и DM е 5 см то намерете::
а) дължината на отсечката АВ и лицето на ∆ АВС
б)градината мярка на ъгъл BAD и лицето на ∆ ABD

Screenshot 2024-05-11 193047.png (11.9 KiB) Прегледано 450 пъти

[tex]\\ AM=BM=CM=R_{\text{оп.окр.}}=DM=5[cm] \Rightarrow AB=2\cdot{}DM=10[cm] \\ CM\in{s_{AB}} \Rightarrow CM\bot{AB} \Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot{}AB\cdot{}CM=25[cm^{2}] \\ \angle{ABD}=\varphi, \quad \varphi+5\varphi=90^{\circ} \Rightarrow \varphi=15^{\circ} \Rightarrow \angle{BAD}=5\varphi=75^{\circ} \\[/tex]Височината към хипотенузата в правоъгълен триъгълник, с остър ъгъл [tex]15^{\circ}[/tex] е равна на една четвърт от хипотенузата, тогава лицето на такъв триъгълник е [tex]\\S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot{}AB\cdot{}\frac{AB}{4}=\frac{100}{8}=12\frac{1}{2}[cm^{2}][/tex]

Доказателство, за височината към хипотенузата в правоъгълен триъгълник, с остър ъгъл [tex]15^{\circ}[/tex] е равна на една четвърт от хипотенузата:

Скрит текст: покажи

правоъг_триъг_15гр.png (28.55 KiB) Прегледано 450 пъти

[tex]\\[/tex]Построяваме медианата [tex]BM. \\ AM=BM=CM=\frac{1}{2}\cdot{AC} \Rightarrow \triangle{ABM} \rightarrow AM=BM \Rightarrow \angle{ABM}=\angle{BAM}=15^{\circ}. \\ \triangle{CB_{1}B} \rightarrow \begin{cases} \angle{BB_{1}C}=90^{\circ} \\ \angle{B_{1}CB}=75^{\circ} \end{cases} \Rightarrow \angle{CBB_{1}}=15^{\circ}. \\ \angle{MBB_{1}}=90^{\circ}-\angle{ABM}-\angle{CBB_{1}}=60^{\circ} \\ \triangle{MB_{1}B} \rightarrow \begin{cases} \angle{BB_{1}M}=90^{\circ} \\ \angle{B_{1}BM}=60^{\circ} \end{cases} \Rightarrow \angle{BMB_{1}}=30^{\circ} \Rightarrow BB_{1}=\frac{1}{2}\cdot{BM}=\frac{1}{2}\cdot{\frac{1}{2}\cdot{AC}} \Rightarrow AC=4\cdot{BB_{1}}[/tex]