Трудна задача

[ivanova74@abv.bg]

В равнобедрен триъг. АВС с основа АВ и ъгъл при върха 100, е взета вътреша т. М, така че ВМ=СМ и ъгъл ВМС=140. Да се намери ъгъл АМС.

[Гост]

Трудна задача-page-001.jpg (146.42 KiB) Прегледано 492 пъти

[ivanova74@abv.bg]

Благодаря, има ли някаква подсказка, която да ме насочи за това допълнително построение

[Гост]

Построяването на равностранен триъгълник върху някоя от страните е популярна техника при подобен род задачи, в които се търсят ъгли, като целта обикновено е да се получат някакви еднаквости.

За съжаление не ми е известен алгоритъм, който конкретно да указва, ако видиш еди-какво си, трябва да направиш еди-що си.

Първо пробвах да построя равностранен триъгълник върху страната АВ, но не „проработи“, след което построих върху АС и „проработи“.

Най-вероятно има и друго решение с различно по характер допълнително построение.

[Евва]

Ето още една идея - започваме като колегата/жката ,построяваме равностранен [tex]\triangle[/tex]АХС (т.Х и т.С
лежат в различни полуравнини относно АВ )
Построяваме [tex]\triangle[/tex]ACN [tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]MBC (1) (т.N и т.X лежат в различни полуравнини относно AC )

Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]AXN и [tex]\triangle[/tex]AMC
1.AX=AC (по построение)
2.AN=CM (по построение)
3. [tex]\angle[/tex]NAX=[tex]\angle[/tex]NAC+[tex]\angle[/tex]CAX=20[tex]^\circ[/tex]+60[tex]^\circ[/tex]=80[tex]^\circ[/tex]
също [tex]\angle[/tex]ACM=[tex]\angle[/tex]ACX+[tex]\angle[/tex]XCM=60[tex]^\circ[/tex]+20[tex]^\circ[/tex]=80[tex]^\circ[/tex]
т.е. [tex]\angle[/tex]NAX=[tex]\angle[/tex]ACM [tex]\Rightarrow[/tex] по 1 признак [tex]\triangle[/tex]AXN[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]AMC
Тогава [tex]\angle[/tex]ANX=[tex]\angle[/tex]AMC (2)

Забелязваме ,че [tex]\triangle[/tex]AXN[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]NXC по 3 признак [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ANX=[tex]\angle[/tex]CNX (3)

[tex]\angle[/tex]ANX+[tex]\angle[/tex]CNX=[tex]\angle[/tex]ANC (виж (1) и (3))
[tex]\angle[/tex]ANX+[tex]\angle[/tex]ANX=140[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]ANX=70[tex]^\circ[/tex]
От (2) следва ,че [tex]\angle[/tex]AMC=70[tex]^\circ[/tex]

[Гост]

Трудна задача 2-page-001.jpg (227.54 KiB) Прегледано 431 пъти