триъгълник, симетрала, лице

[Гост]

Здравейте, моля за помощ с тази задача за 7 клас. Благодаря!
В △ABC α:β:γ=3:1:8. Симетралите на страните AC и BC пресичат страната AB съответно в точките M и N. Ако лицето на △AMC е равно на 36 см2, намерете лицето на △NBC.

[ammornil]

Здравейте, моля за помощ с тази задача за 7 клас. Благодаря!
В △ABC α:β:γ=3:1:8. Симетралите на страните AC и BC пресичат страната AB съответно в точките M и N. Ако лицето на △AMC е равно на 36 см2, намерете лицето на △NBC.

[tex]\\[/tex]

Screenshot 2024-09-02 134612.png (44.36 KiB) Прегледано 434 пъти

[tex]\\[/tex]Допускаме, че се има в предвид конвенцията [tex]\begin{cases} \angle{BAC}=\alpha \\ \angle{ABC}=\beta \\ \angle{ACB}=\gamma \end{cases} \\[/tex]Ако горното не е вярно, следва да се разгледат три случая! [tex]\\[/tex]На чертежа съм пресметнал ъглите на триъгълника от дадената пропорция, и оттам съм намерил всички други вътрешни ъгли, определени от страните на триъгълника, дадените симетрали и разстоянията от върха [tex]C[/tex] до дадените пресечни точки между симетралите и страната [tex]AB[/tex].[tex]\\ s_{AC}\cap{AC}=D, \quad s_{BC}\cap{BC}=E \\ M \in s_{AC} \Rightarrow AM=CM \Rightarrow \angle{MAC}=\angle{MCA}=45^{\circ} \Rightarrow \angle{AMC}=90^{\circ} \Rightarrow S_{AMC}=\frac{AM\cdot{}CM}{2} \\ \quad \Rightarrow AM^{2}=2\cdot{}S_{AMC} \Rightarrow AM=CM=6\sqrt{2} \\ N \in s_{BC} \Rightarrow CN=BN \Rightarrow \angle{NCB}=\angle{NBC}=15^{\circ} \\ \angle{MCN}=\angle{ACB}-\angle{ACM}-\angle{BCN}=120^{\circ}-45^{\circ}-15^{\circ}=60^{\circ} \\ \angle{MNC}=180^{\circ}-\angle{CMN}-\angle{MCN}=180^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ} \\ \triangle{CMN} \rightarrow \begin{cases} \angle{CMN}=90^{\circ} \\ \angle{MNC}=30^{\circ} \end{cases} \Rightarrow CN=2\cdot{}CM=12\sqrt{2} \\ \triangle{NEC} \rightarrow \begin{cases} \angle{NEC}=90^{\circ} \\ \angle{NCE}=15^{\circ} \end{cases} \Rightarrow CN=4\cdot{}NE \Rightarrow NE=\frac{1}{4}\cdot{}CN=3\sqrt{3} \\ CE^{2}+EN^{2}=CN^{2} \Rightarrow CE^{2}=CN^{2}-NE^{2}=288-27=261 \Rightarrow CE=3\sqrt{29} \\ E \in s_{BC} \Rightarrow CE=EB \Rightarrow CB=2\cdot{EC}=6\sqrt{29} \\ S_{CNB}=\frac{1}{2}\cdot{}CB\cdot{}EN=\frac{1}{2}\cdot{}6\sqrt{29} \cdot{}3\sqrt{3}=9\sqrt{87}[/tex]

Скрит текст: покажи

[tex]\alpha:\beta:\gamma=3:1:8 \rightarrow \beta=x \Rightarrow \begin{cases}\alpha=3x \\ \gamma=8x \end{cases} \\ \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ} \Leftrightarrow 3x+x+8x=180^{\circ} \Leftrightarrow 12x=180^{\circ} \Leftrightarrow x=15^{\circ} \\ \quad \Rightarrow \begin{cases} \alpha = 45^{\circ} \\ \beta=15^{\circ} \\ \gamma=120^{\circ} \end{cases}[/tex]

Проверете за изчислители грешки, защото бързах.

[S.B.]

Здравейте, моля за помощ с тази задача за 7 клас. Благодаря!
В △ABC α:β:γ=3:1:8. Симетралите на страните AC и BC пресичат страната AB съответно в точките M и N. Ако лицето на △AMC е равно на 36 см2, намерете лицето на △NBC.

Без заглавие - 2024-09-02T180143.078.png (248.57 KiB) Прегледано 419 пъти

Друг поглед върху задачата :

[tex]\alpha : \beta : \gamma = 3:1:8 \Leftrightarrow \alpha = 3x , \beta = x , \gamma = 8x[/tex]
[tex]\alpha + \beta + \gamma = 180 ^\circ \Leftrightarrow 3x + x + 8x = 180 ^\circ \Rightarrow 12x = 180 ^\circ \Rightarrow x = 15 ^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \alpha = 45 ^\circ , \beta = 15 ^\circ ,\gamma = 120 ^\circ[/tex]
[tex]M \in S_{AC } \Rightarrow AM = CM , N \in S_{BC } \Rightarrow BN = CN[/tex]
[tex]\triangle AMC[/tex] е равнобедрен,правоъгълен (ЗАЩО?) [tex]\Rightarrow AM = CM = x[/tex]
[tex]S_{AMC } = 36 , S_{AMC } = \frac{AM.MC}{2} = \frac{x.x}{2} = 36 \Leftrightarrow \frac{ x^{2 } }{2} = 36[/tex]
$$\Rightarrow x^{2 } = 72$$

[tex]N \in S_{BC } \Rightarrow BN = NC, \triangle NBC[/tex] е равнобедрен
[tex]\angle NBC = \angle BCN = 15 ^\circ \Rightarrow \angle CNB = 150 ^\circ \Rightarrow \angle CNM = 30 ^\circ[/tex] (като съседен)
В правоъгълния [tex]\triangle MNC, CM[/tex] лежи срещу ъгъл [tex]30 ^\circ , CM = x \Rightarrow CN = 2x, \Rightarrow BN = 2x[/tex]
[tex]S_{NBC } = \frac{BN.CM}{2} \Leftrightarrow S_{NBC } = \frac{2x.x}{2} \Rightarrow S_{NBC } = x^{2 }[/tex]

[tex]\begin{cases} x^{2 }= 72 \\ S_{NBC } = x^{2 } \end{cases}[/tex]
$$\Rightarrow S_{NBC } = 72 $$

[Гост]

Благодаря ви за предоставените решения, отделено време и страхотните чертежи!