Равнобедрен триъгълник

[Гост]

Моля за побутване на следната задача! Получила съм за ъгъл MNL= 180-6[tex]\alpha[/tex]. Ъгъл TKM=180-4[tex]\alpha[/tex]. Ъгъл TKN=KNT=[tex]\alpha[/tex]. За да са еднакви посочените триъгълници, ъгъл MLT трябва да е равен на ъгъл PLM. Но тук вече не се сещам как да продължа, как да изразя тези два ъгъла чрез [tex]\alpha[/tex]?
Благодаря предварително!

[Гост]

Намерих и че ъгъл PLM е 6[tex]\alpha[/tex]. Но как да разбера за коя стойност на [tex]\alpha[/tex] триъгълниците ще са еднакви?

[batsev]

Изразил съм ъглите на [tex]\triangle[/tex]NKL.

[Гост]

Да, и аз ги имам тях. Но това как ми помага? Имам три равнобедрени триъгълника - MKT, KTN, KLN, съответно знам ъглите във всеки от тях, изразени чрез алфа. Но и това не знам с какво ми помага за намирането на стойността на [tex]\alpha[/tex]. Как? Моля за обяснение.

[S.B.]

Да, и аз ги имам тях. Но това как ми помага? Имам три равнобедрени триъгълника - MKT, KTN, KLN, съответно знам ъглите във всеки от тях, изразени чрез алфа. Но и това не знам с какво ми помага за намирането на стойността на [tex]\alpha[/tex]. Как? Моля за обяснение.

Без заглавие - 2024-11-14T143317.805.png (308.7 KiB) Прегледано 522 пъти

До тук добре сте се справили!Браво!
Разглеждам триъгълниците ,за които се иска да са еднакви.Единственият линеен елемент който е еднакъв и за двата триъгълника е общата права $ML$.Това ме навежда на мисълта,че тези триъгълници ще бъдат еднакви само по втори признак.
Имаме ,че [tex]\angle TML = \angle PML = 2 \alpha[/tex]
Трябва ни още една двойка равни ъгли,за това ще приравним [tex]\angle MLP[/tex] с [tex]\angle MLT[/tex]
[tex]\angle MLP = 6 \alpha[/tex] (като външен ъгъл за [tex]\triangle KNL[/tex])
[tex]\angle KLT = 90 ^\circ - 3 \alpha[/tex] (от правоъгълния [tex]\triangle KQL[/tex])

[tex]\angle MLP = \angle KLT \Leftrightarrow 6 \alpha = 90 ^\circ - 3 \alpha \Leftrightarrow 9 \alpha = 90 ^\circ \Rightarrow \alpha = 10 ^\circ[/tex]

[tex]\angle MKT = 180 ^\circ - 4 \alpha \Leftrightarrow \angle MKT = 180 ^\circ - 40 ^\circ[/tex]
$$\Rightarrow \angle MKT = 140 ^\circ $$

[Гост]

Сърдечно благодаря S.B.! Само едно не разбирам – кое предполага, че симетралата на KN минава през точка L? Споменава се само, че пресича MN в точка T… Тук ми е била грешката - в построението на симетралата и оттам чертежът ми е грешен. Моля за отговор на въпроса ми!

[S.B.]

Сърдечно благодаря S.B.! Само едно не разбирам – кое предполага, че симетралата на KN минава през точка L? Споменава се само, че пресича MN в точка T… Тук ми е била грешката - в построението на симетралата и оттам чертежът ми е грешен. Моля за отговор на въпроса ми!

В учебника за 7 клас ,в урока "Симетрала на отсечка", освен традиционното определение за симетрала на отсечка фигурират и две много важни теореми:

1)
ТЕОРЕМА : Всяка точка,която е на равни разстояния от краищата на дадена отсечка ,лежи на симетралата на тази отсечка.

[tex]\triangle KNL[/tex] е равнобедрен с основа [tex]KN \Leftrightarrow KL = LN \Rightarrow L \in S_{KN }[/tex]

2)
ТЕОРЕМА -Свойство :Всяка точка от симетралата на дадена отсечка е на равни разстояния от краищата на отсечката.

[tex]S_{NK } \cap MN = T \Leftrightarrow TK = TN \Rightarrow \triangle TNK[/tex] е равнобедрен [tex]\Rightarrow \angle TKN = \angle TNK = \alpha \Rightarrow \angle TKL = 4 \alpha \Rightarrow \angle MKT = 180 ^\circ - 4 \alpha[/tex]

[Гост]

Ахааа, те затова много тактично са казали да си намерим ъглите на NKL непосредствено преди да кажат да се построи симетралата. Трябвало е да се сетя като видя двата еднакви ъгъла. Супер! Благодаря!!!

[S.B.]

Ключът към решението на тази задача се състои изцяло върху Вашите знания за симетралата!
Тук са включени определението за симетрала и нейните свойства,които произтичат от двете теореми,които Ви цитирах и които трябва да знаете.
Изрзяването на ъглите чрез зададения [tex]\angle \alpha[/tex] в случая се явяват като вторични сметки.