Задача за 7 клас.

[Гост]

Триъгълник АВС е остроъгълен и AD е височина. Докажете, че AD < 1/2.(АВ+АС).

[S.B.]

Триъгълник АВС е остроъгълен и AD е височина. Докажете, че AD < 1/2.(АВ+АС).

Без заглавие - 2025-04-12T144207.425.png (181.85 KiB) Прегледано 354 пъти

Височината $AD$ разделя [tex]\triangle ABC[/tex] на два правоъгълни триъгълника :[tex]\triangle ABD[/tex] и [tex]\triangle ACD[/tex]
За [tex]\triangle ABD[/tex] имаме $AD$ е катет ,а $AB$ е хипотенуза [tex]\Rightarrow AD < AB[/tex]

За [tex]\triangle ACD[/tex] имаме$AD$ е катет, а $AC$ е хипотенуза [tex]\Rightarrow AD < AC[/tex]

Според свойството на неравенствата :

[tex]\begin{cases} a < b \\ c < d \end{cases} \rightarrow a + c < b + d[/tex]

В нашия случай имаме [tex]\begin{cases} AD < AB \\ AD < AC \end{cases} \Rightarrow AD + AD < AB + AC \Leftrightarrow 2AD < AB + AC[/tex]
Пак от свойствата на неравествата :[tex]\frac{2.AD}{2} < \frac{AB + AC}{2}[/tex]
$$\Rightarrow AD < \frac{1}{2}.(AB + AC) $$