Успоредник

[Гост]

В успоредника ABCD страната AB е два пъти по-голяма от страната BC. Точката
M е средата на CD, а точката P е петата на перпендикуляра, спуснат от върха
A към продължениетооо на CB. Ако ∠DAB:∠ABC=1:4, намерете големината на
∠DMP в градуси.
задачата е от тест входно ниво /на Сборник на Архимед/ , т.е. трябва да се реши със знания за 7 клас, отговорът е 54.

[Darina73]

Нека т.Е е среда на отс. АВ и т.F е пресечната точка на правите CD и PA .
[tex]\angle[/tex]DMP =?

ABCD -успоредник [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]DAB+[tex]\angle[/tex]ABC =180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]DAB+4[tex]\angle[/tex]DAB =180[tex]^\circ[/tex] ; [tex]\angle[/tex]DAB=36[tex]^\circ[/tex] и [tex]\angle[/tex]ABC=144[tex]^\circ[/tex]
По условие DM=[tex]\frac{CD}{2}= \frac{AB}{2}[/tex]= BC =AD т.е. DM=AD (1) , също CM=BC (2)
Тогава AEMD се явява ромб и EBCM също е ромб .
Знаем ,че диагоналите на ромб разполовяват ъгъла ,в нашия случай [tex]\angle[/tex]DMA=[tex]\frac{ \angle DME }{2}= \frac{36 ^\circ }{2}[/tex]= 18[tex]^\circ[/tex]
също [tex]\angle[/tex]CMB=[tex]\frac{ \angle CME }{2} =\frac{144 ^\circ }{2}= 72 ^\circ[/tex]
От правоъгълния [tex]\triangle[/tex]PCF намираме [tex]\angle[/tex]PFC= 180[tex]^\circ -(90 ^\circ+36 ^\circ) =54 ^\circ[/tex] (3)
По условие AB||CD [tex]\Rightarrow[/tex] съответните ъгли са равни [tex]\angle[/tex]PAB=[tex]\angle[/tex]PFC =54[tex]^\circ[/tex] (4)

В правоъг.[tex]\triangle[/tex]PBA -РЕ се явява медиана към хипотенузата АВ .
PE=[tex]\frac{AB}{2}[/tex] (5) ,а по построение AE=[tex]\frac{AB}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]APE е равнобедрен и [tex]\angle[/tex]PAE=[tex]\angle[/tex]APE =54[tex]^\circ[/tex] [ виж (4) ]
( [tex]\triangle[/tex]APE ) [tex]\angle[/tex]AEP =72[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]AEP+[tex]\angle[/tex]PEM+[tex]\angle[/tex]AEM =360[tex]^\circ[/tex]
72[tex]^\circ[/tex]+[tex]\angle[/tex]PEM+144[tex]^\circ =360 ^\circ[/tex] ; [tex]\angle[/tex]PEM=144[tex]^\circ[/tex] (6)
Разглеждаме равнобедрения [tex]\triangle[/tex]PME (виж (5)) и намираме [tex]\angle[/tex]PME=[tex]\frac{180 ^\circ-144 ^\circ }{2} =18 ^\circ[/tex] (7)

[tex]\angle[/tex]DMP=[tex]\angle[/tex]DME+[tex]\angle[/tex]PME =36[tex]^\circ+18 ^\circ= 54 ^\circ[/tex]

[S.B.]

В успоредника ABCD страната AB е два пъти по-голяма от страната BC. Точката
M е средата на CD, а точката P е петата на перпендикуляра, спуснат от върха
A към продължениетооо на CB. Ако ∠DAB:∠ABC=1:4, намерете големината на
∠DMP в градуси.
задачата е от тест входно ниво /на Сборник на Архимед/ , т.е. трябва да се реши със знания за 7 клас, отговорът е 54.

Без заглавие - 2025-09-19T213315.384.png (318.74 KiB) Прегледано 206 пъти

И ето още един поглед върху задачата :
$AB = 2BC$
Нека [tex]BC = a \Rightarrow AB = 2a[/tex]
[tex]\angle DAB = x , \angle ABC = 4x ,\angle DAB + \angle ABC = 180 ^\circ \Leftrightarrow x + 4x = 180 ^\circ \Leftrightarrow 5x = 180 ^\circ \Rightarrow x = 36 ^\circ[/tex]
$$\Rightarrow \angle DAB = 36 ^\circ , \angle ABC = 144 ^\circ $$
[tex]\triangle AMD[/tex] е равнобедрен [tex]\Rightarrow \angle MAD = \angle DMA[/tex]
[tex]\angle DMA = \angle MAB[/tex] ( кръстни) [tex]\Rightarrow \angle DAM = \angle MAB \Rightarrow AM[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle DAB[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle DAM = \angle MAB = 18 ^\circ[/tex]
По аналогичен начин се доказва,че $BM$ е ъглополовяща на [tex]\angle ABC \Rightarrow \angle ABM = \angle MBC = 72 ^\circ[/tex]
$AM$ и $BM$ са ъглополовящи на [tex]\angle DAB[/tex] и [tex]\angle ABC[/tex],които са прилежащи ъгли ,получени при пресичане на две успоредни прави с трета.
[tex]\Rightarrow \angle AMB = 90 ^\circ , \triangle AMB[/tex] е правоъгълен.
Нека $MN$ е медиана към хипотенузата [tex]AB = 2a \Rightarrow AN = NB = MN = a, \angle MAN = \angle AMN = 18 ^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle MNB = 36 ^\circ[/tex] ( като външен ъгъл за [tex]\triangle ANM[/tex])

[tex]\triangle APB[/tex] е правоъгълен по условие ([tex]AP \bot BC[/tex])
[tex]\angle ABP = 36 ^\circ[/tex] (съседен на [tex]\angle ABC = 144 ^\circ[/tex])
[tex]\Rightarrow \angle BAP = 54 ^\circ[/tex]
$PN$ е медиана към хипотенузата [tex]AB = 2a \Rightarrow AN = BN = PN = a, \triangle APN[/tex] е равнобедрен и
[tex]\angle NAP = \angle NPA = 54 ^\circ \Rightarrow \angle BNP = 108 ^\circ[/tex] (като външен за [tex]\triangle ANP[/tex])
[tex]\Rightarrow \angle MNP = 108 ^\circ + 36 ^\circ = 144 ^\circ[/tex]
[tex]\triangle MNP[/tex] е равнобедрен ($MN = PN = a$)
[tex]\Rightarrow \angle NMP = \frac{180 ^\circ - 144 ^\circ }{2} = 18 ^\circ[/tex]
За търсеният [tex]\angle DMP[/tex] получаваме:
[tex]\angle DMP = \angle DMA + \angle AMN + \angle NMP = 3.18 ^\circ = 54 ^\circ[/tex]

[Гост]

По-добре е с чертеж!