Уравнение

[Гост]

Моля за помощ!

[Гост]

Подусловие б) успях да го реша. Само а) не разбирам.

[Davids]

Учили ли сте $a^3 + b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2)$

Лявата страна ти е $x^3 + 2^3$, което като разложиш по горната формула ти дава общ множител с дясната страна $x+2$.

[Гост]

Учили сме, но това как ми помага. Стигам до x²-4x+10=0

[ammornil]

Учили сме, но това как ми помага. Стигам до x²-4x+10=0

$\\[12pt] x^{3}+8=(x+2) \cdot{}(2x-6) \quad \Leftrightarrow \quad (x+2) \cdot{}(x^{2}-4x+4)= (x+2) \cdot{}(2x-6) \quad \Leftrightarrow \quad (x+2) \cdot{}(x^{2}-4x+4) -(x+2) \cdot{}(2x-6)= 0 \\[6pt] \Leftrightarrow \quad (x+2)\cdot{}(x^{2} -4x +4 -2x +6)=0 \quad \Leftrightarrow \quad (x+2)\cdot{}(x^{2} -6x +10)= 0 \Rightarrow \\[12pt] x+2=0 \quad \cup \quad x^{2} -6x +10 = 0 \\[6pt] \boxed {\quad x=-2 \quad} \cup \quad x^{2} -2\cdot{x}\cdot{3} +3^{2} +1=0 \\[6pt] \hspace{5em} \quad \cup \quad (x-3)^{2} +1 >0 \quad \forall{x}\in\mathbb{R}$ $$ \text{Отговор:}\quad x=-2 $$

Скрит текст: покажи

Трябва да внимаваме да не изпуснем решения чрез недопустими операции. Например, не можем да съкратим двете страни на $x+2$ без да сме показали че $x+2\ne{0}$, което значи да разгледаме случая $$ отделно. Това би изглеждало така: $\\[12pt] x^{3}+8=(x+2) \cdot{}(2x-6) \quad \Leftrightarrow \quad (x+2) \cdot{}(x^{2}-4x+4)= (x+2) \cdot{}(2x-6) \Rightarrow \\[6pt] (1):\quad x+2= 0 \Rightarrow x=-2 \\[6pt] (2):\quad x+2\ne{0} \Rightarrow (x+2) \cdot{}(x^{2}-4x+4)= (x+2) \cdot{}(2x-6) |\div{(x+2)\ne{0}} \quad \Leftrightarrow \quad x^{2} -4x +4= 2x- 6 \\[6pt] \hspace{3em} \Leftrightarrow \quad x^{2} -6x +10= 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^{2} -2\cdot{x}\cdot{3} +3^{2} +1=0 \quad \Leftrightarrow \quad (x-3)^{2} +1 >0 \quad \forall{x}\in\mathbb{R} \Rightarrow x^{2} -6x +10 \ne{0} \quad \forall{x}\in\mathbb{R}$

[ammornil]

В горния пост имам техническа грешка, която няма ефект върху решението, но е грешка и следва да се поправи: $\\[12pt] x^{3}+8=(x+2) \cdot{}(2x-6) \quad \Leftrightarrow \quad (x+2) \cdot{}(x^{2}-\red{2}x+4)= (x+2) \cdot{}(2x-6) \quad \Leftrightarrow \quad (x+2) \cdot{}(x^{2}-\red{2}x+4) -(x+2) \cdot{}(2x-6)= 0 \\[6pt] \Leftrightarrow \quad (x+2)\cdot{}(x^{2} -\red{2}x +4 -2x +6)=0 \quad \Leftrightarrow \quad (x+2)\cdot{}(x^{2} -\red{4}x +10)= 0 \Rightarrow \\[12pt] x+2=0 \quad \cup \quad x^{2} -\red{4}x +10 = 0 \\[6pt] \boxed {\quad x=-2 \quad} \cup \quad x^{2} -2\cdot{x}\cdot{\red{2}} +\red{2}^{2} +\red{6}=0 \\[6pt] \hspace{5em} \quad \cup \quad (x-\red{2})^{2} +\red{6} >0 \quad \forall{x}\in\mathbb{R}$ $$ \text{Отговор:}\quad x=-2 $$