Ъгли в триъгълник и симетрала

[Гост]

Моля, да се реши само със знания от 7 клас.Предварително благодаря!
Даден е триъгълник $ABC$ , в който [tex]\angle A = 80 ^\circ[/tex] , а [tex]\angle C = 60 ^\circ[/tex].Точката $M$ е вътрешна за триъгълника и такава,че [tex]\angle MAC = \angle MCA = \angle MBC = \frac{1}{6} \angle AMB[/tex]
Симетралата на отсечката $BM$ пресича страната $BC$ в точка $P$.Отсечките $AP$ и $BM$ се пресичат в точка $Q$.
Докажете,че $AM = QM$

[Darina73]

Нека [tex]\angle[/tex]МАС=[tex]\varphi[/tex] и т. Е е среда на страната АС ,т. R е върху страната ВС така ,че [tex]\triangle[/tex]ARC е равностранен .
ER лежи на симетралата на отс. АС (1)
[tex]\angle[/tex]МАС=[tex]\angle[/tex]МСА [tex]\Rightarrow[/tex] т.М лежи на симетралата на отс.АС (2)
От (1) и (2) [tex]\Rightarrow[/tex] M[tex]\in[/tex] отс. ER (3) и тогава [tex]\angle[/tex]MRC=30[tex]^\circ[/tex] (4)

[tex]\angle[/tex]МСА=[tex]\angle[/tex]МАС=[tex]\varphi[/tex] за [tex]\triangle[/tex]АМС
[tex]\angle[/tex]АМС=180[tex]^\circ[/tex]-2[tex]\varphi[/tex] (А) ,дадено е [tex]\angle[/tex]АМВ=6[tex]\varphi[/tex] (В)
[tex]\angle[/tex]МСВ=60[tex]^\circ- \varphi[/tex] за [tex]\triangle[/tex]МВС намираме
[tex]\angle[/tex]ВМС=180[tex]^\circ[/tex]-([tex]\angle[/tex]МВС+[tex]\angle[/tex]МСВ)=180[tex]^\circ-( \varphi +60 ^\circ- \varphi )[/tex] ; [tex]\angle[/tex]ВМС=120[tex]^\circ[/tex] (С)
От (А) ,(В) и (С) [tex]\Rightarrow[/tex] 180[tex]^\circ-2 \varphi +6 \varphi +120 ^\circ=360 ^\circ[/tex] ;[tex]\varphi =15 ^\circ[/tex]

Дадено е ,че т.Р [tex]\in[/tex] симетралата на отс.ВМ [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ВМР=[tex]\angle[/tex]МВР=[tex]\angle[/tex]МВС=[tex]\varphi=15 ^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]МРС е външен за [tex]\triangle[/tex]МВР [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]МРС=[tex]\angle[/tex]ВМР+[tex]\angle[/tex]МВР=[tex]\varphi+ \varphi[/tex] ; [tex]\angle[/tex]МРС=30[tex]^\circ[/tex] (5)

Тъй като т.Р и т.R лежат на страната ВС от (4) и (5) [tex]\Rightarrow[/tex] двете точки съвпадат

[tex]\angle[/tex]QAM=[tex]\angle[/tex]QAC-[tex]\angle[/tex]MAC=[tex]\angle[/tex]PAC-[tex]\varphi[/tex]=60[tex]^\circ-15 ^\circ[/tex] ;[tex]\angle[/tex]QAM=45[tex]^\circ[/tex] (6)
[tex]\angle[/tex]AMQ=[tex]\angle[/tex]AMB=6[tex]\varphi[/tex] ;[tex]\angle[/tex]AMQ=90[tex]^\circ[/tex] (7)
За [tex]\triangle[/tex]AQM намираме [tex]\angle[/tex]AQM=180[tex]^\circ[/tex]-([tex]\angle[/tex]QAM+[tex]\angle[/tex]AMQ)=180[tex]^\circ-(45 ^\circ +90 ^\circ)[/tex]; [tex]\angle[/tex]AQM=45[tex]^\circ[/tex] (8)

От (6) и (8) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]AQM е равнобедрен с бедра AM и QM ,тогава AM=QM

[S.B.]

Моля, да се реши само със знания от 7 клас.Предварително благодаря!
Даден е триъгълник $ABC$ , в който [tex]\angle A = 80 ^\circ[/tex] , а [tex]\angle C = 60 ^\circ[/tex].Точката $M$ е вътрешна за триъгълника и такава,че [tex]\angle MAC = \angle MCA = \angle MBC = \frac{1}{6} \angle AMB[/tex]
Симетралата на отсечката $BM$ пресича страната $BC$ в точка $P$.Отсечките $AP$ и $BM$ се пресичат в точка $Q$.
Докажете,че $AM = QM$

Без заглавие - 2026-03-23T155502.709.png (313.55 KiB) Прегледано 166 пъти

За [tex]\triangle ABC : \angle A = 80 ^\circ , \angle C = 60 ^\circ \Rightarrow \angle B = 40 ^\circ[/tex]
[tex]\angle MAC = \angle MCA = \angle MBC = \alpha , \angle AMB = 6 \alpha[/tex]
Разглеждам [tex]\triangle AMB: \angle MAB = 80 ^\circ - \alpha , \angle MBA = 40 ^\circ - \alpha , \angle AMB = 6 \alpha[/tex]
[tex]\angle MAB + \angle MBA + \angle AMB = 180 ^\circ \Leftrightarrow 80 ^\circ - \alpha + 40 ^\circ - \alpha+ 6 \alpha = 180 ^\circ \Leftrightarrow 4 \alpha = 60 ^\circ[/tex]
$$ \Rightarrow \alpha = 15 ^\circ$$
т.[tex]P \in S_{MB } \Rightarrow MP = BP \Rightarrow \angle PMB = \angle PBM = 15 ^\circ \Rightarrow \angle CPM = 30 ^\circ[/tex] (външен за [tex]\triangle MBP[/tex])
[tex]\angle PCM = 60 ^\circ - \alpha \Leftrightarrow \angle PCM = 60 ^\circ - 15 ^\circ \Rightarrow \angle PCM = 45 ^\circ[/tex]
За [tex]\triangle MPC : \angle MPC = 30 ^\circ , \angle PCM = 45 ^\circ \Rightarrow \angle PMC = 105 ^\circ[/tex]
[tex]AP \cap MB = Q[/tex] ( по условие)
За [tex]\triangle APM: \angle AMP = \angle AMQ + \angle QMP \Leftrightarrow \angle AMP = 90 ^\circ + 15 ^\circ \Rightarrow \angle AMP = 105 ^\circ[/tex]

[tex]\triangle CMP \cong \triangle AMP[/tex] (първи признак)
1) $MP$ е обща страна;
2) $AM = CM$ ( [tex]\triangle AMC[/tex] е равнобедрен ЗАЩО?)
3) [tex]\angle AMP = \angle CMP = 105 ^\circ[/tex] (доказахме го!)
[tex]\Rightarrow \angle MAP = \angle MCP = 45 ^\circ \Rightarrow \triangle AQM[/tex] е равнобедрен,правоъгълен
$$\Rightarrow AM = QM$$