Трапец

[Darina73]

Даден е трапец ABCD ( AB||CD , AB>CD )
Диагоналите му се пресичат в т.М .Точка К лежи на отсечката АВ така ,че AKCD е успоредник .
BD пресича CK в т. N .Лицето на [tex]\triangle[/tex]MCD е 3 и лицето на [tex]\triangle[/tex]NBC е 8 .
Намерете лицето на трапеца ABCD .

[Гост]

Триъгълник и успоредник се изучават в 7 клас,но трапец - в 8 клас,така,че задачата не може да бъде в НВО 7 клас.
Може би е за 8 клас.

[Darina73]

Добре , решете задачата със знанията за 8 клас .

[Гост]

Добре , решете задачата със знанията за 8 клас .

Не,първо искам да видя Вашето решение със знания само от 7 клас!

[S.B.]

Даден е трапец ABCD ( AB||CD , AB>CD )
Диагоналите му се пресичат в т.М .Точка К лежи на отсечката АВ така ,че AKCD е успоредник .
BD пресича CK в т. N .Лицето на [tex]\triangle[/tex]MCD е 3 и лицето на [tex]\triangle[/tex]NBC е 8 .
Намерете лицето на трапеца ABCD .

Без заглавие - 2026-04-21T193735.736.png (311.31 KiB) Прегледано 265 пъти

Вероятно уважаваната от мен колежка се е объркала и вместо да постави задачата в раздел "10 клас - НВО " я е поставила в раздел " 7 клас - НВО"

Даден е трапецът $ABCD$ ,$CK || AD$ [tex],BD \cap AC = M , BD \cap AK = N , S_{MCD } = 3 , S_{BCN } = 8[/tex]
Търсим [tex]S_{ABCD }[/tex]
Нека [tex]AB = a,CD = b \Rightarrow BK = a - b , BH \bot CD , BH = h, S_{MNC } = x[/tex]

[tex]\triangle AMB \approx \triangle MCD \Rightarrow \frac{AB}{CD} = \frac{BM}{MD} \Leftrightarrow \frac{BM}{MD} = \frac{a}{b}[/tex]
[tex]\frac{ S_{BMC } }{ S_{DMC } } = \frac{BM}{MD}[/tex] (Имат обща височина)
$$\Rightarrow \frac{8 + x}{3}= \frac{a}{b}$$

[tex]\triangle KBN \approx \triangle DCN \Rightarrow \frac{a - b}{b} = \frac{BN}{ND} \Leftrightarrow \frac{BN}{ND} = \frac{a}{b} -1[/tex]
[tex]\frac{ S_{BNC } }{ S_{DNC } } = \frac{BN}{DN}[/tex] (Имат обща височина)
$$\Rightarrow \frac{8}{3 + x}+1 = \frac{a}{b} $$
Приравнявам и получавам:
[tex]\Rightarrow \frac{8+x}{3} = \frac{8}{3 + x} + 1 \Leftrightarrow (8+x)(x+3) = 24 + 3(3+x) \Leftrightarrow 8x + 24 + x^{2 }+ 3x = 24 + 9 + 3x \Leftrightarrow[/tex]
[tex]x^{2 } + 8x -9 = 0 , D = 100 , x_{1 ,2} = \frac{-8 \pm 10 }{2} , x_{1 } = 1, x_{2 } < 0[/tex]
[tex]\begin{cases} \displaystyle \frac{8+x}{3} = \frac{a}{b} \\ x = 1 \end{cases} \Rightarrow \displaystyle\frac{a}{b} = 3[/tex]
$$\Rightarrow a = 3b$$

[tex]S_{ABCD } = \frac{a+b}{2}h \Rightarrow S_{ABCD } = \frac{4b}{2}h \Leftrightarrow S_{ABCD } = 2.b.h[/tex]

За [tex]\triangle DCB[/tex] получаваме:
[tex]S_{DCB } = \frac{b.h}{2} \Leftrightarrow S_{DCM }+ S_{MNC } + S_{BNC } = \frac{b.h}{2} \Leftrightarrow \frac{b.h}{2} = 12 \Rightarrow b.h = 24[/tex]
$$\begin{cases}b.h = 24 \\ S_{ABCD } = 2b.h \end{cases} \Rightarrow S_{ABCD } = 48$$

[Darina73]

Мисля ,че може да се реши със знанията за 7 клас .
Интересното е ,че няма нужда да се използва формулата за лице на трапец .
Няма да бързам да пращам оригиналното решение (което не е мое) .

[Гост]

Първоначално, подобно на всички останали, си мислех, че Darina 73 е объркала секцията във форума. Оказва се обаче, че задачата наистина е решима със знания за 7 клас (макар и все още да е спорно колко е за НВО)!
Най-напред, ще изразим някои лица с x (ще използвам прекрасния чертеж на S.B. за задачата ). Като за начало, да забележим, че [tex]S_{DMC }[/tex]=[tex]S_{MCK }[/tex], понеже ако пуснем перпендикуляри от K и D към AC, те ще се окажат равни (доказва се леко с еднакви триъгълници и факта, че AKCD е успоредник) [tex]\Rightarrow S_{MNK }[/tex]=3-x.Да разгледаме четириъгълника KBCM. Диагоналите му се пресичат в точка N. Оттук можем да заключим, че [tex]S_{MNC }[/tex]*[tex]S_{KNB }[/tex]=[tex]S_{MNK }[/tex]*[tex]S_{CNB }[/tex] (това е добре известен факт, който може да се докаже с отношения на лица)[tex]\Rightarrow S_{KNB }[/tex]=[tex]\frac{(3-x)*8}{x}[/tex]. Оттук пресмятаме [tex]S_{MKB }[/tex]=[tex]S_{MNK }[/tex]+[tex]S_{NKB }[/tex]=[tex]\frac{(3-x)(x+8)}{x}[/tex]. Очевидно [tex]S_{AMD }[/tex]=[tex]S_{MBC }[/tex]=x+8 и също така [tex]S_{AMK }[/tex]=[tex]S_{AMD }[/tex] (доказателството е подобно на [tex]S_{DMC }[/tex]=[tex]S_{CMK }[/tex]). И така, [tex]S_{AMK }[/tex]=x+8. Оттук пресмятаме [tex]\frac{AK}{KB}[/tex]=[tex]\frac{ S_{AKM } }{ S_{MKB } }[/tex]=[tex]\frac{x}{3-x}[/tex]. Знаем, че [tex]S_{AMN }[/tex]*[tex]S_{DMC }[/tex]=[tex]S_{AMD }[/tex]*[tex]S_{MNC }[/tex] (обсъдихме това твърдение по-горе).[tex]\Rightarrow S_{AMN }[/tex]=[tex]\frac{x(x+8)}{3} \Rightarrow S_{ANC }[/tex]=[tex]S_{AMN }[/tex]+[tex]S_{MNC }[/tex]=[tex]\frac{x(x+11)}{3}[/tex]. Сега пресмятаме [tex]\frac{AK}{KB}[/tex]=[tex]\frac{ S_{ANC } }{ S_{NCB } }[/tex]=[tex]\frac{x(x+11)}{24}[/tex]. Но вече знаем, че [tex]\frac{AK}{KB}[/tex]=[tex]\frac{x}{3-x} \Rightarrow \frac{x}{3-x}[/tex]=[tex]\frac{x(x+11)}{24} \Rightarrow x^{2 }[/tex]+8x-9=0 [tex]\Rightarrow[/tex](x-1)(x+9)=0[tex]\Rightarrow[/tex]x=1( очевидно x>0). Оттук вече лесно пресмятаме [tex]S_{ABCD }[/tex]=48.

[Darina73]

Браво на Гост !
Брилянтна идея ,която той изписа на 5 и 6 ред .
Ето оригиналното р-е :
Нека [tex]S_{MNC }[/tex]=x и [tex]S_{KBN } =y[/tex]
ABCD -трапец [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{ACD } =S_{BCD }[/tex] | вадим 3
[tex]S_{AMD } =S_{BCM }[/tex] т.е. [tex]S_{AMD }[/tex]=x+8

Построяваме бедрото AN на трапеца ANCD .
Лесно доказваме ,че [tex]S_{ANM } =S_{DMC }[/tex] =3

За произволен четириъгълник е в сила формулата [tex]S_{1 } S_{3 } =S_{2 } S_{4 }[/tex] (1)
Според нашия чертеж за е в сила [tex]S_{AMD } S_{MNC } =S_{ANM } S_{DMC }[/tex]
(x+8)x =3.3 ;[tex]x^{2 }[/tex]+8x-9=0 ;[tex]x^{2 }[/tex]+9x-x-9=0 ;x(x-1)+9(x-1)=0 ;(x-1)(x+9)=0 [tex]\Rightarrow[/tex] х=1 е единствено решение

За ABCD отново прилагаме (1) [tex]S_{ABM } S_{MCD } =S_{BCM } S_{AMD }[/tex]
[tex]S_{AMD }.3= (x+8)^{2 }[/tex] ;[tex]S_{ABM }= \frac{ 9^{2 } }{3} =27[/tex]

[tex]S_{ABCD } =S_{ABM } +S_{MBC } +S_{MCD } +S_{AMD }[/tex]= 27+9+3+9= 48