Задача за успоредник-7 клас

[Гост]

За успоредника ABCD точка M е среда на страната AB
а) Ако AB = 2BC = 10\cm и ъгъл ADB = 90° да се намери дължината на отсечката DM.
б) Ако DE е перпендикулярна на BC и т. E е вътрешна точка за страната BC, да се доказа, че триъгълник MED е равнобедрен.

Подточка а) е ясно. Може ли помощ за б)?

Благодаря предварително!

[Гост]

Построй си средата F на CD и докажи [tex]\triangle[/tex]MBE[tex]\cong \triangle[/tex]BEF.

[S.B.]

За успоредника ABCD точка M е среда на страната AB
а) Ако AB = 2BC = 10\cm и ъгъл ADB = 90° да се намери дължината на отсечката DM.
б) Ако DE е перпендикулярна на BC и т. E е вътрешна точка за страната BC, да се доказа, че триъгълник MED е равнобедрен.

Подточка а) е ясно. Може ли помощ за б)?

Благодаря предварително!

Без заглавие - 2026-05-15T205440.321.png (209.2 KiB) Прегледано 262 пъти

Според условието $ABCD$ е успоредник, [tex]\angle ADB = 90 ^\circ \Rightarrow \angle DBC = \angle ADB = 90 ^\circ[/tex] (като кръстни ъгли)
[tex]\Rightarrow B \equiv E[/tex] защото през т.$D$ съществува единствен перпендикуляр към $BC$
т.$E$ няма как да бъде вътрешна за отсечката $BC$ .
Предполагам,че в условието нещо не е наред!

[Гост]

Сигурно а) е независимо от б) подусловие т.е. няма как да използвате правия ъгъл от а) в б)

[ammornil]

$\\[6pt]$(а)$\\[12pt]$

Screenshot 2026-05-16 120442.png (18.17 KiB) Прегледано 229 пъти

$\\[6pt] \begin{cases} BD\bot{BC} \\ AD\|BC \end{cases} \Rightarrow \angle{BDA}=90^{\circ} \\[6pt] \triangle{ABD}: \quad \begin{cases} \angle{ADB}=90^{\circ} \\ AB=2\cdot{BC} \end{cases} \Rightarrow \angle{ABD}= 30^{\circ} \Rightarrow \angle{BAD}= 60^{\circ} \\[6pt] \triangle{AMD}: \quad \begin{cases} AM= BC= \dfrac{1}{2}\cdot{AB} \\ \angle{MAD}= 60^{\circ} \end{cases} \Rightarrow \angle{ADB}= \angle{ABD}= \dfrac{180^{\circ}-\angle{MAD}}{2}= 60^{\circ} \\ \quad \Rightarrow MD= AM= AD= \dfrac{1}{2}\cdot{AB}= 5 $ $\\[12pt]$(б)$\\[12pt]$

Screenshot 2026-05-16 123145.png (20.25 KiB) Прегледано 229 пъти

$\\[6pt]$През $M$ постройте права $p$ успоредна на $BC. \\[6pt] p\cap{CD}= P$. $AMPD$ е успоредник по построение, следователно $DP=AM=\dfrac{1}{2}AB \Rightarrow DP=PC. \\[6pt] p\cap{DE}= F, FP\| EC \Rightarrow \dfrac{DF}{DE}= \dfrac{DP}{DC} =\dfrac{1}{2} \Rightarrow DF=FE \\[6pt] \begin{cases} MF\|BC \\ DE\bot{BC} \end{cases} \Rightarrow MF\bot{ED} \\[6pt] \begin{cases}EF=FE \\ MF\bot{DE} \end{cases} \Rightarrow M\in{s_{_{ED}}} \Rightarrow DM=EM \Rightarrow \triangle{MED} \text{ е равнобедрен}$

[S.B.]

За успоредника ABCD точка M е среда на страната AB
а) Ако AB = 2BC = 10\cm и ъгъл ADB = 90° да се намери дължината на отсечката DM.
б) Ако DE е перпендикулярна на BC и т. E е вътрешна точка за страната BC, да се доказа, че триъгълник MED е равнобедрен.

Подточка а) е ясно. Може ли помощ за б)?

Благодаря предварително!

Още един поглед върху задачата Всъщност това са две различни задачи, в които общото е само,че $ABCD$ е успоредник и ,че т.$M$ е среда на страната $AB$

Без заглавие - 2026-05-16T173623.319.png (375.36 KiB) Прегледано 217 пъти

а)
Тук нещата са ясни.[tex]\triangle ABD[/tex] е правоъгълен с хипотенуза $AB = 10$ и медиана към хипотенузата $AM$
В 7 клас е учено,че медианата към хипотенузата е равна на половината от нея [tex]\Rightarrow DM = \frac{1}{2}AB \Leftrightarrow DM = \frac{10}{2}[/tex]
$$\Rightarrow DM = 5$$

Скрит текст: покажи

Мисля,че задачата е преопределена.Условието,че $AB = 2BC$ не е необходимо!

б)
Тук условието не включва, че $AB = 2BC = 10$ нито,че [tex]\angle ADB = 90 ^\circ[/tex] Знае се само,че $ABCD$ е успоредник, т.$M$ е среда на $AB$ , [tex]DE \bot BC, E \notin BC , E \ne B , E \ne C[/tex] (вътрешна точка)
$ABCD$ е успоредник по условие [tex]\Rightarrow AD || BC[/tex]

[tex]\angle DEC= 90 ^\circ , \angle EDA = \angle DEC[/tex] (кръстни)[tex]\Rightarrow \angle EDA= 90 ^\circ[/tex]
През точките $M$ и $E$ построявам права,която пресича продължението на страната $AD$ в т.$N$
[tex]\triangle NED[/tex] е правоъгълен с хипотенуза $EN$
Разглеждам [tex]\triangle MAN[/tex] и [tex]\triangle MBE[/tex]:
1) $AM = BM$ (по условие)
2)[tex]\angle AMN = \angle BME[/tex] (противоположни ъгли)
3)[tex]\angle NAM = \angle MBE[/tex] (кръстни ъгли)
[tex]\Rightarrow \triangle ANM \cong \triangle BME[/tex] ( втори признак)
[tex]\Rightarrow NM = ME \Rightarrow DM[/tex] е медиана към хипотенузата
$$\Rightarrow NM = MD = ME$$
[tex]\Rightarrow \triangle DME[/tex] е равнобедрен