Остроъгълен триъгълник втори модул

[ivan.22336]

Здравейте, може ли помощ със следната задача от втори модул на тест в сборник "Архимед"?

[Гост]

Обърни снимката!!!

[Гост]

Ванка, и аз като бях 7 клас, Архимед ми скъсваше нервите. Нека не те притеснява сложността на задачите там, често тя е над реалната за НВО, а по-скоро се доближава до нивото на някои състезания тип Олимпиада и ПМС.

За а) - лесно се вижда, че AD=CD. Чалъмът тук е да видиш, че понеже D е на ъглополовящата на [tex]\angle[/tex]AMB, тя е равноотдалечена от AM и BM. Това значи, че като пуснеш височини от D към AM и BM, те ще са равни. Нека АМ пресича CD в точка H. Да разгледаме правоъгълните триъгълници ADH и CDB - те имат равен катет (AD=CD), равни височини към хипотенузата (съгласно разсъжденията от по-рано) и равен прав ъгъл (очевидно). Оказва се, че това ти стига да покажеш, че ADH[tex]\cong[/tex]CDB (на теб оставям да съобразиш защо това е така ). Сега лесно следва, че [tex]\angle[/tex]BAM=[tex]\angle[/tex]BAH=[tex]\angle[/tex]DCB=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\beta[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]AM[tex]\bot[/tex]BC [tex]\Rightarrow \angle[/tex]AMB=90[tex]^\circ[/tex]

За б) - като имаш сума на отсечки обикновено е добра идея да я "изправиш" т.е. да направиш построение, в резултат на което на чертежа ти се появява отсечка, равна на дадената сума на отсечки. В конкретния случай, нека точка E е на лъча BA, така че AE=AO. Очевидно BE=AB+AE=AB+AO. От [tex]\angle[/tex]MCO=60[tex]^\circ[/tex] директно се пресмята, че [tex]\angle[/tex]ABC=60[tex]^\circ[/tex]. Сега да разгледаме [tex]\triangle[/tex]ECB. Ще е много хубаво да докажем, че [tex]\angle[/tex]ECB=90[tex]^\circ[/tex], понеже тогава ще имаме правоъгълен триъгълник с ъгъл 30[tex]^\circ \Rightarrow[/tex]EB=2BC=48, с което ще сме готови. Нека CO[tex]\cap[/tex]AB=K. Директно се пресмята, че [tex]\angle[/tex]AKC=120[tex]^\circ[/tex]. Сега ни остава да покажем, че EK=KC[tex]\Leftrightarrow[/tex]EA+AK=CO+OK[tex]\Leftrightarrow[/tex]AK=KO. Последното обаче се доказва само с изразяване на ъгли, така че на теб оставям да го направиш.

[ammornil]

34508_000.jpg (67.74 KiB) Прегледано 203 пъти

$\\[12pt]$

Screenshot 2026-05-24 085438.png (89.64 KiB) Прегледано 203 пъти

$\\[6pt]$Ето още един поглед върху задачата (моля да ме извините за разхвърляния чертеж, някои идеи показани на чертежа нямат пряко отношение към решението на задачата)$\\[12pt]\triangle{ABC}, \quad \angle{BAC}=45^{\circ}, \angle{ABC}<90^{\circ}, \angle{BCA}<90^{\circ} \\ D\in{AB}, CD\bot{AB}, \quad M\in{BC}, \angle{AMD}=\angle{BMD} (\Leftrightarrow {D}\in{l_{_{\angle{AMB}}}}) \\[6pt] \text{(а)}: \quad \angle{AMB}=? \\[6pt] \text{(б)}:\quad \because{} \begin{cases} O\in{s_{_{AC}}}, O\in{AM} \\ \angle{MCO}=60^{\circ} \\ BC=24 \end{cases} \Rightarrow AB+AO=?\\ \rule{10cm}{0.5pt} \\[12pt]\text{(а)}:\\[6pt] \triangle{ADC}: \quad \because{} \begin{cases} \angle{ADC}=90^{\circ} \\ \angle{CAD}=45^{\circ} \end{cases} \Rightarrow \angle{ACD}= 45^{\circ}, \quad \because{}\begin{cases} \angle{CAD}=45^{\circ} \\ \angle{ACD}= 45^{\circ} \end{cases} \Rightarrow AD=CD \\[6pt]\sqsupset{\angle{ABC}}= \beta \\[6pt] \triangle{CDB}: \quad \angle{CDB}= 90^{\circ} \Rightarrow \angle{DCB}= 90^{\circ}-\beta \\[6pt] \sqsupset{} \begin{cases} E\in{AM}, \quad DE\bot{AM} \\ F\in{BC}, \quad DF\bot{BC} \end{cases}, \quad \because{D}\in{l_{_{\angle{AMB}}}} \Rightarrow DE=DF \\[6pt]\because{} \begin{cases} \angle{AED}= \angle{CFD} = 90^{\circ} \\ AD=DC \\ DE= DF \end{cases} \Rightarrow \triangle{ADE}\cong \triangle{CDF} \Rightarrow \angle{DAE}= \angle{DCF}= 90^{\circ}-\beta \\[6pt] \triangle{AED}: \quad \angle{ADE}= 90^{\circ}- \angle{DAE}= 90^{\circ}- (90^{\circ}-\beta)= \beta \\[6pt] \triangle{DFB}: \quad \angle{FDB}= 90^{\circ}- \angle{DBF}= 90^{\circ}-\beta \\[6pt] \angle{EDF}= 180^{\circ}- (\angle{ADE} +\angle{BDF})= 180^{\circ}- (\beta +90^{\circ} -\beta)= 90^{\circ} \\[6pt] DFME: \quad \because{} \angle{DFM}+ \angle{FME} +\angle{MED} +\angle{EDF}= 360^{\circ} \Rightarrow \\ \quad \angle{FME}=360^{\circ} -(\angle{DFM} +\angle{MED} +\angle{EDF}) =360^{\circ} -(90^{\circ} +90^{\circ} +90^{\circ})= 90^{\circ}$ $$ \angle{AMB}= \angle{EMF}= 90^{\circ} $$ $\\[12pt]\text{(б)}:\\[6pt] O\in{AM} \Rightarrow OM\bot{BC}, \quad O\in{s_{_{AC}}} \Rightarrow OA=OC \\[6pt] \triangle{OMC}: \quad \because{} \begin{cases} \angle{OCM}= 60^{\circ} \\ \angle{OMC}= 90^{\circ} \end{cases} \Rightarrow \angle{MOC}= 30^{\circ} \Rightarrow \angle{AOC}= 150^{\circ} \\[6pt] \triangle{AOC}: \quad \because{} \begin{cases} AO=OC \\ \angle{AOC}=150^{\circ} \end{cases} \Rightarrow \angle{OAC}= \angle{ACO}= \dfrac{180^{\circ}-\angle{AOC}}{2}= 15^{\circ} \\[6pt] \sqsupset{AB\cap{CO}}=Q, \quad \angle{QAO}= \angle{QAC}- \angle{OAC}= 45^{\circ} -15^{\circ}= 30^{\circ}, \quad \angle{AOQ}= \angle{COM}= 30^{\circ} \text{(връхни)} \\[6pt] \triangle{AQO}: \quad \because{}\angle{QAO}=\angle{QOA}= 30^{\circ} \Rightarrow \begin{cases} \angle{AQO}= 120^{\circ} \\ AQ= OQ \end{cases} \\[6pt] \sqsupset{} \begin{cases} O_{1}\in{BA\vec{\ }} \\ BO_{1}>AB \\ AO_{1}=AO \end{cases} \\[6pt] \because{} \begin{cases} AO_{1}= AO \text{ по построение} \\ CO = AO \\ AQ=QO \end{cases} \Rightarrow O_{1}Q=QC \\[6pt] \triangle{O_{1}QC}: \quad \because{} \begin{cases} O_{1}Q=QC \\ \angle{O_{1}QC}=120^{\circ} \end{cases} \Rightarrow \angle{QO_{1}C}= \angle{O_{1}CQ}= \dfrac{180^{\circ}- \angle{O_{1}QC}}{2}= 30^{\circ} \\[6pt] Q\in{CO \vec{\ }} \Rightarrow \angle{QCB}= \angle{OCB}= 60^{\circ} \\[6pt] \angle{O_{1}CB}= \angle{O_{1}CQ} +\angle{QCB}= 30^{\circ}+ 60^{\circ}= 90^{\circ} \\[6pt] \triangle{BCO_{1}}: \quad \because{} \begin{cases} \angle{O_{1}CB}= 90^{\circ} \\ \angle{BO_{1}C}= 30^{\circ} \end{cases} \Rightarrow BO_{1}= 2\cdot{BC}= 2\cdot{24}= 48 $ $$ AB+AO =AB +AO_{1}= BO_{1}= 48 $$ $\\[24pt]$Бележки по анотацията:

Скрит текст: покажи

$\\[6pt] \because{}$ = понеже; $\sqsupset{}$ = нека

[S.B.]

Здравейте, може ли помощ със следната задача от втори модул на тест в сборник "Архимед"?

Без заглавие - 2026-05-24T104918.564.png (313.99 KiB) Прегледано 203 пъти

И още един поглед върху задачата! Тя се решава изключително с материал за 7 клас и няма нищо общо със състезателните задачи
[tex]\angle CAB = 45 ^\circ \Rightarrow \triangle ADC[/tex] е равнобедрен, правоъгълен [tex]\Rightarrow AD = CD[/tex]

а)

[tex]M \in BC, AM \cap CD = N[/tex]
$MD$ е ъглополовяща на [tex]\angle AMB \Rightarrow[/tex] т.$D$ е на равни разстояния от раменете на [tex]\angle AMD[/tex]:
Построявам [tex]\begin{cases} D D_{1 } \bot AM , D_{1 } \in AM\\ D D_{2 } \bot BC , D_{2 } \in BC\end{cases} \Rightarrow D D_{1 } = D D_{2 }[/tex]
[tex]\triangle AD D_{1 } \cong \triangle CD D_{2 }[/tex] (правоъгълни,с равни катет и хипотенуза)
От еднаквостта на триъгълниците получаваме:
[tex]\angle D_{1 }AD = \angle D_{2 }CD = \alpha \Rightarrow \angle D_{1 }DA = \angle D_{2 }DC = 90 ^\circ - \alpha[/tex]
[tex]\triangle ADN[/tex] също е правоъгълен. (ЗАЩО?)
[tex]\angle NAD = \alpha \Rightarrow \angle AND = 90 ^\circ - \alpha[/tex]
[tex]\triangle N D_{1 } D[/tex] също е правоъгълен (ЗАЩО?) и щом [tex]\angle D_{1 }ND = 90 ^\circ - \alpha \Rightarrow \angle ND D_{1 } = \alpha[/tex]
[tex]\angle D_{1 } D D_{2 } = \angle D_{1 }DN + \angle D_{2 }DN = \alpha + 90 ^\circ - \alpha = 90 ^\circ[/tex]
За четириъгълника [tex]D_{1 }D D_{2 } M[/tex] получихме, че има 3 прави ъгъла и две равни съседни страни (кои са те?)
[tex]\Rightarrow D_{1 }D D_{2 }M[/tex] е квадрат и
$$\Rightarrow \angle AMB = \angle D_{1 }M D_{2 } = 90 ^\circ $$

б)

[tex]S_{AC } \cap AM = O \Rightarrow O \in S_{AC } \Rightarrow AO = CO[/tex]
[tex]\triangle OMC[/tex] е правоъгълен ,[tex]\angle MCO = 60 ^\circ \Rightarrow \angle COM = 30 ^\circ \Rightarrow CM = \frac{1}{2}CO[/tex] ,но $AO = CO$
$$\Rightarrow CM = \frac{1}{2}AO $$
[tex]\angle COM = 30 ^\circ , \angle COM[/tex] е външен ъгъл за равнобедрения [tex]\triangle AOC[/tex] ,където [tex]\angle CAO = \angle ACO[/tex]
[tex]\angle COM = \angle CAO + \angle ACO \Leftrightarrow 30 ^\circ = 2.15 ^\circ \Rightarrow \angle CAO = 15 ^\circ \Rightarrow \angle OAB = 45 ^\circ - 15 ^\circ[/tex]
$$\Rightarrow \angle OAB = 30 ^\circ $$
[tex]\triangle ABM[/tex] е правоъгълен , [tex]\angle MAB = OAB = 30 ^\circ[/tex]
$$\Rightarrow MB = \frac{1}{2} AB $$
[tex]CM + MB = 24 \Leftrightarrow \frac{1}{2} AO + \frac{1}{2}AB = 24 \Leftrightarrow \frac{AO}{2} + \frac{AB}{2} = 24[/tex]
$$\Rightarrow AB + AO = 48$$