НПМГ 7 клас от 2010

[Pipilota]

Да се докаже, че ако а, b и с са дължините на страните на триъгълник, то а^2 +b^2 > 1/2*c^2.

[Kamito]

Използвай неравенството на триъгълника a+b>c

[Pipilota]

да, знам може ли подробно решение?

[Добромир Глухаров]

[tex](a-b)^2\ge 0[/tex]
[tex]a^2+b^2\ge 2ab[/tex]
[tex]\frac{a^2+b^2}{4}\ge \frac{ab}{2}[/tex]
[tex]\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{a^2+b^2}{4}\ge \frac{ab}{2}[/tex]
[tex]\frac{a^2+b^2}{2}\ge \frac{a^2+b^2+2ab}{4}[/tex]
[tex]a^2+b^2\ge \frac{(a+b)^2}{2}>\frac{c^2}{2}[/tex]

Може и направо да се използва неравенството СК-СА:

[tex]\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\ge \frac{a+b}{2}[/tex]

[Pipilota]

Blagodaria, hubavo reshenie!