Разлагане на квадратен тричлен на множители

[ganka simeonova]

Понеже се пуснаха няколко поста за разлагане на квадратен тричлен чрез представяне на второто събираемо като сбор или разлика на други две, но на 7-класниците им е трудно да го направят,ще напиша начина.
Нека квадратният тричлен е: [tex]ax^2+bx+c[/tex]. Tук всеки коефициент се взима със знака пред себе си.
Търсим две числа, чието произведение е [tex]ac[/tex]и на които сборът е [tex]b[/tex]

Пример: [tex]5x^2+34x-7[/tex] [tex]ac=-35; b=34[/tex]Числата ще са 35 и (-1). Тогава
[tex]34x=35x-1x=>5x^2+35x-x-7=5x(x+7)-(x+7)=(5x-1)(x+7)[/tex]

[tex]2x^2+15x+25[/tex],[tex]ac=50; b=15[/tex].Кои са числата? Очевдидно са 10 и 5, защото 10.5=50; 10+5=15=>

[tex]2x^2+10x+5x+25=2x(x+5)+5(x+5)=(2x+5)(x+5)[/tex]

[mail_dinko]

Въпреки че съм 11 клас ... може ли да пуснете няколко без да казвате отговора?

Безкрайно съм ви благодарен за това, което правите във форума и за времето, което отделяте (някои биха предпочели да го ползват за да дават частни уроци)

[amsara]

Въпреки че съм 11 клас ... може ли да пуснете няколко без да казвате отговора?

Безкрайно съм ви благодарен за това, което правите във форума и за времето, което отделяте (някои биха предпочели да го ползват за да дават частни уроци)

И аз съм така. Нищо, че преди време , точно заради благодарността ми към госпожата,ме обвиниха тук, че й се подмазвам и съм в някакъв тандем с нея.

[ganka simeonova]

[tex]3x^2+13x-10; 5x^2+14x+8; 7x^2-12x-4[/tex]

[ptj]

Може би е добре да се научат на универсалното отделяне на точен квадрат:
Пример: [tex]3x^2+13x-10=0[/tex]

1.) Делим всичко на коефициента пред [tex]x^2[/tex] за да го приравним към 1:
[tex]x^2+\frac{13}{3 } x-\frac{10}{3 } =0[/tex]

2.) Коефициента пред [tex]x[/tex] го представяме като 2 по нещо:
[tex]x^2+2\frac{13}{2.3 }x-\frac{10}{3 } =0[/tex]

3.) Сега се опитваме да приложим формулата [tex](x+a)^2=x^2+2ax+a^2[/tex].
В примера имаме [tex]x^2[/tex] и [tex]2\frac{13}{6 } x[/tex], но нямаме [tex]\left(\frac{13}{6 } \right)^2[/tex], затова веднъж го прибавяме и веднъж вадим,
т.е. записваме :
[tex]x^2+2\frac{13}{2.3 }x+\left(\frac{13}{6 }\right)^2-\left(\frac{13}{6 }\right)^2-\frac{10}{3 } =0[/tex]

[tex]\left(x+\frac{13}{6 }\right)^2-\left(\frac{13}{6 }\right)^2-\frac{10}{3 } =0[/tex]

[tex]\left(x+\frac{13}{6 }\right)^2-\frac{169}{36 }-\frac{120}{36 } =0[/tex]

[tex]\left(x+\frac{13}{6 }\right)^2-\frac{289}{36 } =0[/tex]

4.) Израза извън скобите представяме като точен квадрат, т.е. [tex]\frac{289}{36 }=\left(\frac{17}{6 }\right)^2[/tex] и заместваме:

[tex]\left(x+\frac{13}{6 }\right)^2-\left(\frac{17}{6 }\right)^2 =0[/tex]

5.) Прилагаме формулата за съкратено умножение [tex]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/tex] :

[tex]\left(x+\frac{13}{6 }+\frac{17}{6 } \right)\left(x+\frac{13}{6 }-\frac{17}{6 } \right)=0[/tex]

[tex]\left(x+\frac{30}{6 } \right)\left(x-\frac{4}{6 } \right)=0[/tex]

[tex]\left(x+5 \right)\left(x-\frac{2}{3 } \right)=0[/tex]

Отговора може да се запише и като :
[tex]\left(x+5 \right)\left(3x-2 \right)=0[/tex]


П.П. В повечето случаи дробите не са толкова страшни.

[Xixibg]

Извинявам се за включването ама идеята беше да не решаваме примерите ,а да ги оставим за упражнение на учениците.........
Искам да спомена и че в 7-ми клас задълбочено се учи точно този метод с отделяне на точен квадрат.
Деленето с коефициента пред [tex]x^2[/tex] е допустимо при квадратните уравнения, но може да доведе до неприятни грешки в уроците за полиноми и разлагане на полиноми.
Затова мисля ,че ще е добре да се придържаме към приетото разлагане [tex]ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex] ,където [tex]x_1,x_2[/tex] са нулите на полинома.

Иначе добре решено и добре обяснено

[ptj]

Не ги бъркай излишно. Тези термини не са за седмокласници.

[vladimir]

Не ме бива с обясненията и терминологията, но бих искал да вмъкна още един начин за разлагане - "The Berry Method". Много лесен и подобен на това което е дала г-жа Симеонова.

Започваме с това:

Търсим две числа, чието произведение е [tex]ac[/tex]и на които сборът е [tex]b[/tex]

Да ги наречем [tex]z_{1}[/tex] и [tex]z_{2}[/tex]. Разлагаме по следният начин: [tex](ax \pm z_{1})(ax \pm z_{2})[/tex]. След което ако може да се извади нещо от скобите то се унищожава... С няколко примера нещата стават доста по-ясни

Примерът на г-жа Иванова:
[tex]5x^2+34x-7; \qquad \qquad z_{1}=-1,\quad z_{2}=35 \\ (5x-1)(5x+35);[/tex]
[tex](5x-1)5(x+7);[/tex] 5 се унищожава
[tex](5x-1)(x+7)[/tex]

Още един:

[tex]6x^2-11x-7; \qquad \qquad z_{1}=-14,\quad z_{2}=3 \\ (6x-14)(6x+3); \\ 2(3x-7)3(2x+1); \\ (3x-7)(2x+1)[/tex]