Сийка написа:В равностранния триъгълник ABC лъчите AM , AN и AP разделят ъгъл BAC на четири равни части . Намерете отношението CM / MN / NB / BP на колко е равно .
[tex]\triangle ABC[/tex] - равностранен,[tex]AM,AN,AP[/tex] разделят [tex]\angle BAC[/tex] на 4 равни ъгъла,като [tex]M,N,P \in BC[/tex] Търси се отношението: [tex]CM : MN : NB : BP[/tex]
Нека страната на равностранния триъгълник е [tex]a[/tex];
[tex]\triangle ABM \cong \triangle APC[/tex] по втори признак [tex]\Rightarrow BM = CP, AM = AP[/tex];
[tex]\triangle AMN \cong \triangle APN[/tex] по първи признак [tex]\Rightarrow NM = NP ,\angle MNA = \angle PNA[/tex] коитo са съседни [tex]\Rightarrow \angle ANM = \angle ANP = 90^\circ \Rightarrow AN \bot BC[/tex]
Получихме : [tex]BM = PC = x[/tex] и [tex]MN = NP = y \Rightarrow BC = 2x + 2y = a[/tex] или [tex]x + y = \frac{a}{2}[/tex]
[tex]AN \bot BC \Rightarrow AN = \frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex] ( като височина в равностранен триъгълник със страна [tex]a[/tex])
В [tex]\triangle ANC, AP[/tex] е ъглополовяща и [tex]\frac{PC}{PN} = \frac{AC}{AN}[/tex] или [tex]\frac{x}{y} = \frac{a}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{2\sqrt{3}}{3}[/tex]
Образувам системата: [tex]\begin{array}{|l} x + y = \frac{a}{2} \\\frac{x}{y} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \end{array}[/tex] решенията на която са: [tex]x = a(2 - \sqrt{3}) , y = a\frac{(2\sqrt{3} - 3)}{2}[/tex]
[tex]CM = x + 2y = a(\sqrt{3} - 1); MN = y = a\frac{2\sqrt{3} - 3}{2} ; NB = x + y = \frac{a}{2} ; BP = 2y + x = a(\sqrt{3} - 1)[/tex]
[tex]CM : MN : NB : BP = a(\sqrt{3} - 1) : a\frac{2\sqrt{3} - 3}{2} : \frac{a}{2} : a(\sqrt{3} - 1) = (\sqrt{3} - 1) : \frac{2\sqrt{3} - 3}{2} : \frac{1}{2} : (\sqrt{3} - 1)[/tex]
Никой любовен роман не е разплакал толкова много хора,колкото учебникът по математика.
Ако нещо мърда - това е биология,ако мирише -това е химия,ако има сила - това е физика,а ако нищо не разбираш - това е математика
Меню
