Задача от матура - вписана окръжност с център О

[Гост]

В триъгълника със страна АB=[tex]\sqrt{10}[/tex] точката O е център на вписаната окръжност,АО=2 и BO=[tex]\sqrt{2}[/tex].Да се намери лицето на триъгълника ABC.

[Xixibg]

От косинусова теорема за [tex]\triangle ABO ; =>\angle AOB=135^\circ[/tex]
[tex]AO,BO[/tex] - ъглополовящи в [tex]\triangle ABC (O[/tex] център на вписаната окръжност[tex])[/tex]
[tex]\angle AOB=90^\circ +\frac{\gamma }{2}[/tex] Основна задача от 7-ми клас [tex]=>\gamma =90^\circ[/tex]
[tex]S_{AOB}=\frac{AO.BO.sin\angle AOB}{2}=\frac{AB.r}{2} =>r=\frac{AO.BO.sin\angle AOB}{AB}=\frac{2.\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{5}[/tex]
[tex]r=p-c ; =>p=r+c=\frac{6\sqrt{10}}{5}[/tex]
[tex]S_{ABC}=p.r=r.(r+c)=\frac{\sqrt{10}}{5}(\frac{\sqrt{10}}{5}+\sqrt{10})=\frac{60}{25}=\frac{12}{5}=2,4[/tex]