Задача от матура

[jackie]

здравейте! Искам да ви попитам за една задача,на която доста се мъчих,но не успях да реша.
През точка P от диаметъра на окръжност е построена хорда AB, която образува с диаметъра ъгъл 60^\circ.Да се намери радиуса на окръжността,ако AP=a и BP=b.

[Knowledge Greedy]

От свойството на хордите през една точка вътре в окръжността имаме [tex]AP.BP=CP.DP.[/tex] Тук с [tex]C[/tex] и [tex]D[/tex] сме означили краищата на диаметъра. Да означим още с [tex]x[/tex] разстоянието [tex]PO[/tex] от дадената точка [tex]P[/tex] до средата на диаметъра [tex]O[/tex]. Дотук получихме, че [tex]ab=(R-x)(R+x).[/tex] Търсеният радиус означихме с [tex]R.[/tex]
За втора зависимост ( неизвестните са вече две - [tex]x[/tex] и [tex]R[/tex]) ще използваме ъгъла [tex]60^\circ.[/tex]
С тази цел спускаме перпендикуляр [tex]OM[/tex] към [tex]AB.[/tex] От друго свойство на хордите, които не са диаметри, следва че точката [tex]M[/tex] e среда на [tex]AB[/tex] и следователно [tex]BM=\frac{1}{2 }AB=\frac{a+b}{2 }.[/tex]
А като изразим от правоъгълния [tex]\Delta OMP[/tex] катета [tex]MP=xcos60^\circ[/tex] и намерим сбора [tex]PB[/tex] , получаваме втората зависимост. [tex]\frac{x}{2 }+\frac{a+b}{2 }=b.[/tex] Оттук намираме [tex]x=b-a[/tex].
( Предполага се любознателният читател знае, че [tex]cos60^\circ=\frac{1}{ 2}[/tex] )
Заместваме намереното [tex]x[/tex] в първата зависимост и намираме [tex]R= sqrt{a^2-ab+b^2}[/tex]

Матурата.PNG (6.79 KiB) Прегледано 688 пъти