matura 2008

[AleksA]

В окръжност с радиус R е вписан четириъгълник ABCD, като AB=2R. Да се докаже, че периметърът на четириъгълника е равен на 2R[1+cos?+cos??cos(?+?)] където ?=<BAD ?=<ABC .Ако ?=?, да се намери ? така, че периметърът да е най-голям.

[martin123456]

[tex]\Delta ABD[/tex] е правоъгълен, значи [tex]AD=2R\cos{\alpha}[/tex]
[tex]\Delta ACB[/tex] е правоъгълен, значи [tex]BC=2R\cos{\beta}[/tex]
[tex]\Delta COD[/tex]: прилагаме косинусова т-ма: [tex]CD^2=2R^2(1-\cos({2\alpha+2\beta-\pi}))=2R^2.2\sin^2{(\alpha+\beta-\frac{\pi}{2})=4R^2\cos^2{(\alpha+\beta)}[/tex]=>[tex]CD=\pm 2R\cos{(\alpha+\beta)}[/tex]
От [tex]\Delta ADB[/tex]: [tex]90^\circ = \alpha +\angle ABD < \alpha +\beta[/tex]=>[tex]CD=-2R\cos{(\alpha+\beta)}[/tex]
Излиза периметърът.

нека [tex]\alpha = \beta =x[/tex]=>[tex]f(x)=2\cos{x}-\cos{2x}[/tex]. Търсим макс на тази функция. [tex]f'(x)=-2\sin{x}+2\sin{2x}=2\sin{x}(-1+2\cos{x})[/tex]. като се вземе предвид, че [tex]x \in (\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})[/tex] и къде се анулира производната имаме лок макс в [tex]x=\frac{\pi}{3}[/tex]

[ganka simeonova]

[tex]\Delta ABD[/tex] е правоъгълен, значи [tex]AD=2R\cos{\alpha}[/tex]
[tex]\Delta ACB[/tex] е правоъгълен, значи [tex]BC=2R\cos{\beta}[/tex]
[tex]\Delta COD[/tex]: прилагаме косинусова т-ма: [tex]CD^2=2R^2(1-\cos({2\alpha+2\beta-\pi}))=2R^2.2\sin^2{(\alpha+\beta-\frac{\pi}{2})=4R^2\cos^2{(\alpha+\beta)}[/tex]=>[tex]CD=\pm 2R\cos{(\alpha+\beta)}[/tex]
От [tex]\Delta ADB[/tex]: [tex]90^\circ = \alpha +\angle ABD < \alpha +\beta[/tex]=>[tex]CD=-2R\cos{(\alpha+\beta)}[/tex]
Излиза периметърът.

нека [tex]\alpha = \beta =x[/tex]=>[tex]f(x)=2\cos{x}-\cos{2x}[/tex]. Търсим макс на тази функция. [tex]f'(x)=-2\sin{x}+2\sin{2x}=2\sin{x}(-1+2\cos{x})[/tex]. като се вземе предвид, че [tex]x \in (\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})[/tex] и къде се анулира производната имаме лок макс в [tex]x=\frac{\pi}{3}[/tex]

"Блестящо", както винаги
1) Грешно f(x)
2) [tex]f(x)=1+2cosx-cos2x=-2(cos^2x-cos2x-1)[/tex]
3) Заглавието на задачата е Матура 2008. Матурата е материал от 1 ниво, в който производна не се изучава. (т.е. не всички деца знаят що е производна).
С полагане на f(x)=t, се получава квадратна функция, която достига най- голямата си стойност за [tex]t=-\frac{b}{a } =-\frac{1}{ 2} =>cosx=60^\circ[/tex]

[martin123456]

абе ти добре ли си. грешно [tex]f(x)[/tex]