Медицентър

[nKolchakoV]

Точката М е медицентърът на триъгълник ABC, а точката Р лежи върху страната АВ, като АР:РВ = 2:1.
Отношението на лицата на триъгълниците ВМР и АВС е равно на ?

[Zarrie]

[tex]AA_{1},BB_{1},CC_{1}[/tex] - медиани
[tex]CH \bot AB, MH' \bot AB[/tex]
[tex]S_{ABC} = \frac{AB.CH}{2}, S_{ABM} = \frac{AB.MH'}{2}[/tex]
От свойството на медицентър и подобието на триъгълниците [tex]\triangle MH'C_{1} \approx \triangle CHC_{1} \Rightarrow \frac{CC_{1}}{MC_{1}} = \frac{ CH}{MH'} = \frac{3}{1}[/tex]
Образуваме отношение и AB се съкращава и остава, че лицата се отнасят тъй както височините си.
[tex]\frac{S_{ABC}}{S_{ABM}} = \frac{3}{1}[/tex]
[tex]S_{ABM} = \frac{1}{3} S_{ABC}[/tex]
[tex]S_{APM} = \frac{AP.MH'}{2}, S_{BPM} = \frac{ BP.MH'}{2} \Rightarrow \frac{S_{APM}}{S_{BPM}} = \frac{AP}{BP} \Rightarrow \frac{S_{APM}}{S_{BPM}}=\frac{2}{1} \Rightarrow S_{PBM} = \frac{1}{3} S_{ABM} \Rightarrow S_{PBM} = \frac{1}{3} . \frac{1}{3} S_{ABC} \Rightarrow \frac{S_{PBM}}{S_{ABC}} = \frac{1}{9}[/tex]

[silencer]

Ето моят начин:
Медианите са: АА1 ; ВВ1 ; СС1;

Медицентърът т.М разделя АВС на 6 РАВНОЛИЦЕВИ триъгълника(след като си построиш трите медиани)!

Следователно:
[tex]S_{C1BМ }=\frac{S_{ABC}}{6}[/tex]

Използвайки,че [tex]АВ=2х+х=3х => С1В=\frac{3х}{2}[/tex]
Изразяваш [tex]S_{C1BM}[/tex]по втори начин:

[tex]S_{C1BM}=\frac{h.3x/2}{2}[/tex]

[tex]S_{C1BM} = S_{C1BM} => \frac{3х}{2}=\frac{S_{ABC}}{6} ===> xh=\frac{2S_{ABC}}{9} \frac{S_{BPM}}{S_{ABC}}=\frac{1}{9}[/tex]

Триъгълникът ВРМ има същата(обща) височина с триъгълник МС1В - h !
След като заместваме xh:
[tex]S_{BPM}=\frac{xh}{2} => S_{BPM}=\frac{2S_{ABC}}{9.2} => S_{BPM}=\frac{S_{ABC}}{9}[/tex]