Тригонометрия сбор от 3 синуса

[Nikolay Petrov]

Трябва ми помощ с тази задача:
Ако α,β,γ са ъгли в триъгълник, да се докаже, че:

sin α+sin β+sin γ=4cos(α/2)xcos(β/2)xcos(γ/2)

Благодаря предварително!

[Davids]

Първо ще докажем, че: [tex]sin(\frac{\alpha + \beta}{2}) = sin(\frac{180 - \gamma}{2}) = sin(90 - \frac{\gamma}{2}) = sin90.cos\frac{y}{2} - cos90.sin\frac{\gamma}{2} = 1.cos\frac{y}{2} - 0.sin\frac{\gamma}{2} = cos\frac{\gamma}{2}[/tex]

Аналогично имаме и че: [tex]cos(\frac{\alpha + \beta}{2}) = sin\frac{\gamma}{2}[/tex]

Имаме също и [tex]sin\gamma = sin(\frac{\gamma}{2} + \frac{\gamma}{2}) = ... = 2sin\frac{\gamma}{2}.cos\frac{\gamma}{2}[/tex]

Започваме:
[tex]sin\alpha + sin\beta + sin\gamma =[/tex] //правим формула за сбор на алфа и бета и заместваме [tex]sin\gamma[/tex]
[tex]= 2sin(\frac{\alpha + \beta}{2}).cos(\frac{\alpha - \beta}{2}) + 2sin\frac{\gamma}{2}.cos\frac{\gamma}{2} =[/tex] //заместваме [tex]sin(\frac{\alpha + \beta}{2})[/tex] с изведеното горе тъждество
[tex]= 2cos\frac{\gamma}{2}.cos(\frac{\alpha - \beta}{2}) + 2sin\frac{\gamma}{2}.cos\frac{\gamma}{2} =[/tex] //групираме
[tex]= 2cos\frac{\gamma}{2}[cos(\frac{\alpha - \beta}{2}) + sin\frac{\gamma}{2}][/tex] = //заместваме [tex]sin\frac{\gamma}{2}[/tex] с изведеното тъждество
[tex]= 2cos\frac{\gamma}{2}[cos(\frac{\alpha - \beta}{2}) + cos(\frac{\alpha + \beta}{2})] =[/tex]

Сега следва да преобразуваме израза в големите скоби:

Скрит текст: покажи

[tex]cos(\frac{\alpha - \beta}{2}) + cos(\frac{\alpha + \beta}{2}) = 2cos(\frac{\frac{\alpha - \beta}{2} + \frac{\alpha + \beta}{2}}{2}).cos(\frac{\frac{\alpha - \beta}{2} - \frac{\alpha + \beta}{2}}{2}) = 2cos\frac{\alpha}{2}.cos(-\frac{\beta}{2})[/tex]
Както виждаш, при този запис бета се получава с минус, което аз лично не мога да си обясня като парадокс при формулата за сбор на косинуси, тъй като втората част е разлика, би трябвало да зависи кое ще поставиш първо. Но ако го запишеш така:
[tex]cos(\frac{\alpha + \beta}{2}) + cos(\frac{\alpha - \beta}{2}) = .... = 2cos\frac{\alpha}{2}.cos(\frac{\beta}{2})[/tex] се получава нужното тъждество, въпреки че би трябвало да са равни... И така, заместваш крайно:

[tex]= 2cos\frac{\gamma}{2}.2cos\frac{\alpha}{2}.cos\frac{\beta}{2} =[/tex]
[tex]= 4cos\frac{\alpha}{2}.cos\frac{\beta}{2}.cos\frac{\gamma}{2}[/tex]