Задачи от матура 2015

[Гост]

Здравейте може ли малко помощ и тези 2 задачи от матурата:
1) Около триъгълник АВС е описан окръжност к(О, ). Ако АОС е 120[tex]^\circ[/tex] и САВ= алфа, то страната АВ = ?
2) Даден е трапец с основи 12 и 9 и диагонали 11 и 18. Лицето на трапеца = ?

[Knowledge Greedy]

Съгласни сме, но може ли да добавите нещо в задача 1 - трябва да има линеен елемент. Нещо липсва Може би радиус?

[inveidar]

Здравейте може ли малко помощ и тези 2 задачи от матурата:
1) Около триъгълник АВС е описан окръжност к(О; R ). Ако АОС е 120[tex]^\circ[/tex] и [tex]\angle CAB=\alpha[/tex], то страната АВ = ?
2) Даден е трапец с основи 12 и 9 и диагонали 11 и 18. Лицето на трапеца = ?

[Davids]

2)
Построяваш права през върха C, успоредна на диагонала BD и ще получиш равнолицев на трапеца триъгълник със страни [tex]a = 21; b = 18; c = 11[/tex].
Остава да си направиш Хероновата формула за лице на триъгълник по три страни:
[tex]S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex]
Но [tex]p = \frac{21 + 11 + 18}{2} = 25cm[/tex]
[tex]\Rightarrow S = \sqrt{25(25-21)(25-11)(25-18)} = \sqrt{25.4.14.7} = 5.2.7\sqrt{2} = 70\sqrt{2}cm^2[/tex]
Вариант без Хероновата формула:

Скрит текст: покажи

Нека т.O да е пресечната на диагоналите. Тогава ще имаш два подобни триъгълника AOB и COD с коефициент [tex]k = \frac{4}{3}[/tex]
Оттам ще намериш, че [tex]AO = \frac{44}{7}[/tex] ([tex]\Rightarrow OC = \frac{33}{7}[/tex]) и [tex]BO = \frac{72}{7}[/tex] (съответно [tex]\Rightarrow DO = \frac{54}{7}[/tex])
Спускаш си височината [tex]OH = h'[/tex] от O към АB. Означаваш [tex]AH = x[/tex] и [tex]\Rightarrow HB = 12-x[/tex]
Правиш две питагорови теореми в система за двата триъгълника от двете страни на [tex]h'[/tex]:
\begin{array}{|l} (\frac{72}{7})^2 = h'^2 + (12-x)^2 \\ (\frac{44}{7})^2 = h'^2 + x^2 \end{array}
След като я решиш, ще получиш [tex]x = \frac{68}{21}[/tex]
Заместваш горе в по-лесното уравнение от системата и имаш:
[tex](\frac{44}{7})^2 = h'^2 + (\frac{68}{21})^2[/tex]
След дъъъъълго и мъчително пресмятане ще получиш:
[tex]h' = \frac{\sqrt{12800}}{21} = \frac{80}{21}\sqrt{2}[/tex]
Оттам намираш цялата височина на трапеца:
[tex]h = h' + \frac{3}{4}h' = \frac{80\sqrt{2}}{21} + \frac{3.\cancel{80}20\sqrt{2}}{\cancel{4}.21} = \frac{140\sqrt{2}}{21} = \frac{20\sqrt{2}}{3}[/tex]
След цялата тая мъка отиваме да си намерим лицето най-накрая
[tex]S = \frac{a+b}{2}.h = \frac{\cancel{21}7}{\cancel{2}}.\frac{\cancel{20}10\sqrt{2}}{\cancel{3}} = 70\sqrt{2}cm^2[/tex]
И този начин, разбира се, е излишно сложен, но все пак да кажем, че е възможно да се реши с материала от девети клас