Задача от матура по желание 2016-та година.

[Parasyte]

Задачата е посочена във файла, а верният отговор е В).

[Anubis]

Веднага пресмятаме [tex]OK=r=2\sqrt{5}[/tex]. Нека [tex]\angle DCO = \angle OCK = \alpha[/tex].

[tex]\sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{3}, \, \cos\alpha=\frac{2}{3} \Rightarrow \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{4\sqrt{5}}{9}, \, \cos2\alpha=-\frac{1}{9}[/tex]

[tex]\angle B+\angle C=\pi \Rightarrow \angle B = \pi - \angle C = \pi-2\alpha \Rightarrow \tan \angle B = -\tan \angle C = -\tan 2\alpha[/tex]

Намираме, че [tex]\tan \angle B = 4\sqrt{5}[/tex].

Но проекцията на височината [tex]CC_{1}[/tex] върху голямата основа е [tex]BC_{1} = \frac{CC_{1}}{\tan \angle B} = 1[/tex].

Получаваме трапец с елементи [tex]a=10, \, b=8, \, h=2r=4\sqrt{5} \Rightarrow S = 36\sqrt{5}[/tex].

[Davids]

Ето едно чертежче и решение с материал от 9-ти клас.

trapec_ravnobedren_okrujnost.png (24.53 KiB) Прегледано 723 пъти

По питагорова теорема намираме радиуса [tex]r = \sqrt{6^2 - 4^2} = 2\sqrt{5}[/tex] и за трапец с вписана окръжност в него знаем веднага, че [tex]h = 4\sqrt{5}[/tex]
Ползваме свойство на допирателните към окръжност, за да докажем, че CK = CM, но CM е среда на CD, следователно CM = DM и бедрото [tex]CD = 8[/tex].
Всички останали допирателни на чертежа съм означил с [tex]x[/tex].
Изразяваме частта [tex]FB = y = \frac{2x - 8}{2} = x-4[/tex]
И прилагаме питагорова теорема за [tex]\Delta FBC[/tex]:
[tex](2\sqrt{5})^2 + (x-4)^2 = (x+4)^2[/tex]
Достигаме до вида [tex]16x = 80[/tex], откъдето следва [tex]x = 5[/tex].
Следователно имаме вече бедрото на трапеца [tex]c = 9[/tex].
Използваме свойството на трапец с вписана окръжност и имаме [tex]a + b = 2c[/tex].
Следователно лицето е: [tex]S = \frac{2c.h}{2} = c.h = 9.4\sqrt{5} = 36\sqrt{5}[/tex]

[Nathi123]

Нека М - допирната точка на вписаната окр. с АВ, N - с CD ; K - с ВС. Триъг. СОВ - правоъг. и ОК=r;
OK [tex]\bot BC\Rightarrow r^{2}=CK.BK;
\Delta COK \Rightarrow r^{2}=36-16=20\Rightarrow 20 = 4.BK\Rightarrow BK=5\Rightarrow BC=AD = 4+5=9; CK=CN=ND=4\Rightarrow CD=8; BK=BM=AM=5
\Rightarrow AB=10;[/tex]
[tex]S_{ABCD }=pr=18.2\sqrt{5}=36\sqrt{5} ( r=2\sqrt{5}).[/tex]

[Parasyte]

Благодаря