Въпрос относно две задачи

[emsihammer98]

Здравейте!
Това са две задачи от примерен тест за матура. Първата не успях да я реша, а на втората не ми се получава отговора.

Задача 1: В кутия има 50 молива, четири от тях са червени, а останалите сини. Каква е вероятността от два случайно избрани молива от кутията и двата са червени?

Задача 2: Да се намери лицето на триъгълника ABC, ако [tex]\angle[/tex]ACB = 30[tex]^\circ[/tex], AC = BC и периметърът на триъгълника е равен на 1.
- Получавам отговор, различен от искания. Моят отговор е следния:
S = [tex]\frac{1}{(\sqrt{6} - \sqrt{2} + 4)^2}[/tex],а посоченият е S = [tex]\frac{4}{(\sqrt{2-\sqrt{3}} + 2)^2}[/tex].

Благодаря предварително!

[Davids]

1. Искаме да разберем какво е съотношението на благоприятните случаи към всичките, в които избираме два от петдесет химикала. Благоприятните са, когато изберем два от четири червени: [tex]C^2_4 = 6[/tex] случая, докато всички случаи са [tex]C^2_{50} = 1225[/tex]. Окончателно вероятността е [tex]P = \frac{6}{1225}[/tex]

2. Всъщност имаме равнобедрен триъгълник с бедро [tex]a[/tex], основа [tex]b[/tex], ъгъл между бедрата [tex]30^{\circ}[/tex] и периметър [tex]P = 1cm[/tex].
По косинусова теорема намираме основата [tex]b = \sqrt{a^2 + a^2 - 2.a.a.cos30^{\circ}} = ... = a\sqrt{2-\sqrt{3}}[/tex]
Сега си ползваме периметъра, за да намерим бедрото:
[tex]2a + a\sqrt{2-\sqrt{3}} = 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{\sqrt{2-\sqrt{3}} + 2}[/tex]
Сега лицето можем да намерим по формулата: [tex]S = \frac{a.a.sin30^{\circ}}{2} = \frac{a^2}{4}[/tex]
И всъщност като заместя, ми се получава [tex]S = \frac{1}{4(\sqrt{2-\sqrt{3}} + 2)^2}[/tex]

[emsihammer98]

Благодаря!

Всъщност и аз като я решавах първия път, получих същия отговор. (S = [tex]\frac{1}{4(2 + \sqrt{2-\sqrt{3}})^{2}}[/tex])

Обаче, вторият път като я решавах се получи другия отговор,като решението ми е различно от първото (прикачих снимка). В клас също я решаваха и там се получи (S = [tex]\frac{1}{({\sqrt{6} - \sqrt{2} + 4})^{2}}[/tex])

Направих програма, която пресмята лицата от двата отговора и се оказа, че са равни. S = 0,0394414985781244

[tex]\Rightarrow[/tex] Оказва се, че задачата има два наглед различни отговора, но все пак и двата са верни.

[Davids]

Всъщност да, двата знаменателя са абсолютно равни. Можем да го докажем алгебрично:
[tex]4(2+\sqrt{2-\sqrt{3}}^2 = (\sqrt{6}-\sqrt{2}+4)^2[/tex]
Коренуваме двете страни:
[tex]2(2+\sqrt{2-\sqrt{3}}) = \sqrt{6} - \sqrt{2} + 4[/tex]
[tex]4 + 2\sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{6} - \sqrt{2} + 4[/tex]
Съкращаваме четворките и вкарваме двойката под корена:
[tex]\sqrt{8-4\sqrt{3}} = \sqrt{6} - \sqrt{2}[/tex]
Повдигаме на втора:
[tex]8 - 4\sqrt{3} = 6 - 2\sqrt{12} + 2[/tex]
[tex]8 - 4\sqrt{3} = 8 - 4\sqrt{3}[/tex]
С което равенството е доказано.