Задача от матура през 3.06.2008

[Parasyte]

Условието и отговорът са посочени във файла.

[123a]

Чрез косинусова теорема намери ВС и от там радиуса на описаната окръжност. Разстоянието от центъра на описаната окръжност до ВС е дължината на височината към основата в равнобедрения триъгълник ВОС, където О е центърът на описаната окръжност.

[Davids]

По косинусова теорема намираме $BC = 8$
Намираме лицето на триъгълника АВС: $S = \frac{5.8.sin60}{2} = 10\sqrt{3}$
Но $S = \frac{abc}{4R} = \frac{8.5.7}{4R} \Rightarrow R = \frac{7}{\sqrt{3}}$
Сега взимаме триъгълника $\Delta OBC$ (О е центърът на описаната окръжност) и намираме лицето по хероновата формула:
$S = \sqrt{(4+\frac{7}{\sqrt{3}})(\frac{7}{\sqrt{3}} - 4).4.4} = \frac{4}{\sqrt{3}}$
Сега намираме височината (търсеното разстояние):
$S = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{8.x}{2} \Rightarrow x = \frac{\sqrt{3}}{3}$