Задача от матура по желание 2008-ма година.

[Parasyte]

Опитах с косинусови теореми за трите триъгълника, а след това образувах система с две неизвестни, но това, което получавам накрая е (AB)^2 = (AB)^2.
Идеи за друг подход или някъде бъркам?

[Alex98]

Ето едно малко тромаво решение:
[tex]cos \beta= \frac{2}{3} \Rightarrow sin \beta= \sqrt{1-(\frac{2}{3})^2}=\frac{\sqrt{5}}{3} \Rightarrow sin 2\beta=2sin \beta.cos \beta=\frac{4\sqrt{5}}{9}[/tex]
Разглеждаме [tex]\Delta ABD[/tex] , той е равнобедрен по условие и нека [tex]AD=BD=x \Rightarrow CD=9-x[/tex].Прилагаме синусова теорема и намираме:[tex]\frac{AD}{sin \beta}=\frac{AB}{sin{(180^\circ-2\beta)}} \Rightarrow AB=x.\frac{3}{\sqrt{5}}.\frac{4\sqrt{5}}{9}=\frac{4}{3}x[/tex]
Сега от свойството на допирната точка на вписаната окръжност имаме:[tex]CD=p-c \Rightarrow 9-x=p-\frac{4}{3}x \Rightarrow p=9+\frac{1}{3}x[/tex]
[tex]\Rightarrow AC=18+\frac{2}{3}x-9-\frac{4}{3}x=9-\frac{2}{3}x[/tex]
Сега вече с косинусова теорема за [tex]\Delta ABC[/tex] ще намерим неизвестното [tex]x[/tex]
[tex]AC^2=AB^2+BC^2-2AB.BC.cos \beta \Rightarrow (9-\frac{2}{3}x)^2=(\frac{4}{3}x)^2+9^2-2.\frac{4}{3}x.9.\frac{2}{3}[/tex]
[tex]81-12x+\frac{4}{9}x^2=\frac{16}{9}x^2+81-16x \Rightarrow \frac{4}{3}x^2-4x=0 \Rightarrow \frac{4}{3}x(x-3)=0 \Rightarrow x=3[/tex]
[tex]AB=\frac{4}{3}x=4[/tex]

[Knowledge Greedy]

Ето едно малко по-кратко решение с помощта определението за косинус на остър ъгъл, появяващите се допирателни (около вписаната окръжност) и една косинусова теорема. Решението е вдъхновено от стремежа към точен чертеж.

Вписана в триъгълник 9 7 4 окръжност.png (19.17 KiB) Прегледано 525 пъти

Ето защо за триъгълника [tex]\Delta ABC[/tex] със страни [tex]BC=9, AC=9-2m \,\ и \,\ AB=4m[/tex] е достатъчно да приложим косинусова теорема.
[tex](9-2m)^2=9^2+(4m)^2-2.9.4m.cos\beta[/tex]
Полученото непълно квадратно уравнение е с корени [tex]m=0[/tex] и [tex]m=1[/tex], от което следва, че [tex]AB=4[/tex].