параметрични неравенства

[milen]

необходимо ми е малко помощ за б и в подточки. За в ми е ясно, че трябва да се направи система с а<0 и Д<0, но отговорът не ми се получава. ще се радвам, ако някой ми помогне

[S.B.]

Подточка б: (a-3) [tex]x^{4}[/tex] - 2 (3a-4)[tex]x^{2}[/tex] + 7a - 6 =0
нека [tex]x^{2}[/tex] = t тогава получаваш (a-3)[tex]t^{2}[/tex] -2(3a-4) t +7a - 6=0
За да има биквадратното уравнение 2 реални корена,необходимо е полученото квдратно спрямо t да има корени с противоположни знаци:
или [tex]t_{1 }[/tex].[tex]t_{2 }[/tex]<0, или според формулите на Виет [tex]\frac{7a-6}{a-3}[/tex]<0,като разбира се a[tex]\ne[/tex]3
7(а-[tex]\frac{6}{7}[/tex]).(а-3)<0,от където a[tex]\in[/tex]([tex]\frac{6}{7}[/tex];3)
Подточка в: използвам полученото квадратно уравнение спрямо t: (а-3)[tex]t^{2}[/tex] - 2(3a-4)t +7a -6 =0
За да няма реални корени биквадратното уравнение е необходимо и квадратното да няма реални корени или да има 2 отрицателни корена;
I . Квадратното уравнение няма реални корени:
Обръщам ти внимание,че коефициента пред втората степен е (a-3) ,a не а!
D=4.[tex](3a-4)^{2}[/tex] - 4(a-3)(7a-6)<0 ,което след преобразуване се получава : 8(a+2)(a-0,5)<0
1-ви случай (a-3)>0 и D<0 [tex]\rightarrow[/tex] a>3 и а[tex]\in[/tex](-2;0,5) което е невъзможно
2-ри случай (а-3)<0 и D<0 [tex]\rightarrow[/tex] a<3 и а[tex]\in[/tex](-2;0,5) което е решението
II . Квадратното уравнение има два отрицателни корена:[tex]t_{1 }[/tex].[tex]t_{2 }[/tex]>0 и същевременно [tex]t_{1 }[/tex]+[tex]t_{2 }[/tex]<0
От Виет образуваш [tex]\frac{7а-6}{а-3}[/tex]>0 и [tex]\frac{-2(3а-4)}{а-3}[/tex]<0 и решаваш тази система,която предполагам няма да те затрудни

[inveidar]

Подточка б: (a-3) [tex]x^{4}[/tex] - 2 (3a-4)[tex]x^{2}[/tex] + 7a - 6 =0
нека [tex]x^{2}[/tex] = t тогава получаваш (a-3)[tex]t^{2}[/tex] -2(3a-4) t +7a - 6=0
За да има биквадратното уравнение 2 реални корена,необходимо е полученото квдратно спрямо t да има корени с противоположни знаци:
или [tex]t_{1 }[/tex].[tex]t_{2 }[/tex]<0, или според формулите на Виет [tex]\frac{7a-6}{a-3}[/tex]<0,като разбира се a[tex]\ne[/tex]3
7(а-[tex]\frac{6}{7}[/tex]).(а-3)<0,от където a[tex]\in[/tex]([tex]\frac{6}{7}[/tex];3)
Подточка в: използвам полученото квадратно уравнение спрямо t: (а-3)[tex]t^{2}[/tex] - 2(3a-4)t +7a -6 =0
За да няма реални корени биквадратното уравнение е необходимо и квадратното да няма реални корени или да има 2 отрицателни корена;
I . Квадратното уравнение няма реални корени:
Обръщам ти внимание,че коефициента пред втората степен е (a-3) ,a не а!
D=4.[tex](3a-4)^{2}[/tex] - 4(a-3)(7a-6)<0 ,което след преобразуване се получава : 8(a+2)(a-0,5)<0
1-ви случай (a-3)>0 и D<0 [tex]\rightarrow[/tex] a>3 и а[tex]\in[/tex](-2;0,5) което е невъзможно
2-ри случай (а-3)<0 и D<0 [tex]\rightarrow[/tex] a<3 и а[tex]\in[/tex](-2;0,5) което е решението
II . Квадратното уравнение има два отрицателни корена:[tex]t_{1 }[/tex].[tex]t_{2 }[/tex]>0 и същевременно [tex]t_{1 }[/tex]+[tex]t_{2 }[/tex]<0
От Виет образуваш [tex]\frac{7а-6}{а-3}[/tex]>0 и [tex]\frac{-2(3а-4)}{а-3}[/tex]<0 и решаваш тази система,която предполагам няма да те затрудни

Преди тези разсъждения би трябвало да разгледаш случая a=3. Може и след това, но трябва!

[S.B.]

O.K.Прав си! (a-3)[tex]x^{4}[/tex] - 2(3a-4)[tex]x^{2}[/tex] +7.а-6 =0
Нека a=3 - сега уравнението се превръща в квадратно : -2(3.3 - 4)[tex]x^{2}[/tex] + 7.3 -6=0 или по-точно: -10[tex]x^{2}[/tex] + 15 =0
2[tex]x^{2}[/tex] - 3 =0 [tex]x_{1 }[/tex] = +[tex]\frac{\sqrt{6}}{2}[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex] = -[tex]\frac{\sqrt{6}}{2}[/tex]
т.е за a = 3 има 2 реални корена.

[Knowledge Greedy]

Както

...
Преди тези разсъждения би трябвало да разгледаш случая a=3. Може и след това, ...

При [tex]a=3[/tex], уравнението е непълно квадратно - с два различни реални корена.
Нека [tex]a\ne 3[/tex].
Изразяваме [tex]a = \frac{3x^4-8x^2+6}{x^4-6x^2+7}[/tex] и разглеждаме параметъра като функция на [tex]x[/tex].

Изследване на една функция дробна с 4 ти степени.png (13.95 KiB) Прегледано 869 пъти

За по-кратко може да отделим цяла част [tex]a(x) = 3+ \frac{10x^2-15}{x^4-6x^2+7}[/tex]
Производната ѝ [tex]a'(x) = - \frac{20x(x^2-3x^2+2)}{(x^4-6x^2+7)^2}[/tex] ни казва, че екстремумите на [tex]a(x)[/tex] са в [tex]-1, -\sqrt{2}, 0, 1[/tex] и [tex]\sqrt{2}[/tex] - абсцисите на зелените точки от графиката. Съответните стойности на функцията са написани със светлосиньо на чертежа, а с червено е хоризонталната асимптота [tex]y=[/tex]3.
Остава да гледаме графиката и да напишем отговорите

Интервали и решения.png (4.42 KiB) Прегледано 869 пъти

_______
За да се побере в нашата зрителна област, графиката съм направил частично свита към абсцисната ос.
Ето и част от истинската графика

Част от точната графика.png (9.18 KiB) Прегледано 869 пъти

За да сме сигурни в тези умозрителни разсъждения, трябва разбира се да знаем поведението на функцията в интервалите, където не можем да видим графиката. За това такова решение е за по-големите, които знаят как се изследва реална функция на една променлива.

[S.B.]

Наистина ,видяхме едно ювелирно решение!!

[Davids]

Наистина ,видяхме едно ювелирно решение!!

Колегата е всепризнат, аз лично се възхищавам Математическо фенче се явявам май

[milen]

много ви благодаря!