Триъгълник

[hyulia]

Даден е триъгълник ABC и точки M, N и P, съответно върху страните AB, BC и AC. Такива, че AM:BM=BN:NC=CP:PA=1:3.

Да се намери лицето на триъгълник MNP, ако лицето на триъгълник ABC е равно на 64 квадратни сантиметра.

Може ли малко помощ? отг:28 кв.см.

[KOPMOPAH]

$S_{MNB}=S_{ABC}-S_{MBN}-S_{NCP}-S_{AMP}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$
$S_{ABC}=\frac 12 AB.h_c$
$S_{MBN}=\frac 12 MB.h_{\triangle MBN}$
$MB=\frac 34 AB,\, h_{\triangle MBN}=\frac 14 h_c \Rightarrow S_{MBN}=\frac 12 .\frac 34 AB.\frac 14 h_c=\cdots=\frac 3{16}S_{ABC}$
Аналогично се получава $S_{NCP}=\frac 3{16}S_{ABC}$ и $S_{AMP}=\frac 3{16}S_{ABC}$, замествайки в $(1)$ получаваме $S_{MNB}=S_{ABC}-S_{MBN}-S_{NCP}-S_{AMP}=S_{ABC}-\frac 9{16}S_{ABC}=\frac 7{16}S_{ABC}=\frac 7{16}.64=28$ кв. см

Много по-интересна задача би било да се търси лицето на триъгълника, затворен между отсечките $AN$, $BP$ и $CM$ (Теорема на Раус)

[hyulia]

Разбрах идеята, но лицето на МВN не е ли [tex]\frac{3}{32}[/tex] от лицето на ABC

[KOPMOPAH]

Лицето на $\triangle MBN$ се получава, като се умножи основата му $MB$, която е $\frac 34$ от $AB$ (сещаш се защо ) и височината му (отбелязана от мен с $h_{\triangle MBN}$), която е $\frac 14$ от $h_c$ (също се сещаш защо ) и произведението се раздели на $2$. Напиши формулата за $S_{ABC}$ и ще ти стане ясно.

В крайна сметка $S_{MBN}=\frac 34.\frac 14.S_{ABC}=\frac 3{16}S_{ABC}$

[ptj]

Вместо да обясняваш защо височината в подобен триъгълник е пропроционална, можеше да ползваш формулата за лице [tex]S=\frac{1}{2}a.b.sin(\gamma)[/tex].