Медиани

[Milenaa]

В триъг АВС, медианит АN и ВК са перпендикулярнк. Ако АС=8 и ВС=6,намерете страната АВ.

[Hephaestus]

[tex]AK = KC = \frac{AC}{2} = 4, BN = NC = \frac{BC}{2} = 3[/tex]

Нека [tex]AN[/tex] x [tex]BK = G[/tex], т.е. [tex]G[/tex] е медицентър в [tex]\triangle ABC[/tex].

Тогава [tex]AG : GN = 2 : 1[/tex] и [tex]BG : GK = 2 : 1 \Rightarrow AG = 2x, GN = x, BG = 2y, GK = y.[/tex]

По условие двете медиани са перпендикулярни и от питагоровата теорема, приложена последователно за [tex]\triangle AGK (\angle AGK = 90^\circ)[/tex], [tex]\triangle BGN (\angle BGN = 90^\circ)[/tex] и [tex]\triangle AGB (\angle AGB = 90^\circ)[/tex] получаваме системата:

[tex]\begin{array}{|l} 4x^{2} + y^{2} = 16 \\ 4y^{2} + x^{2} = 9 \\ 4x^{2} + 4y^{2} = AB^{2} \end{array}[/tex]

От първите две уравнения изразяваме [tex]x^{2} = \frac{11}{3}, y^{2} = \frac{4}{3}[/tex] и заместваме в третото:

[tex]4x^{2} + 4y^{2} = AB^{2} \Rightarrow AB^{2} = 4. \frac{11}{3} + 4. \frac{4}{3} = \frac{44}{3} + \frac{16}{3} = 20 \Rightarrow AB = 2\sqrt{5} .[/tex]