задачи

[Milenaa]

Иван има в джоба си 2 монети по 10 ст., 4 монети по 20ст. , 4монети по 50ст. и 2 монети по 1 лв. Той изважда едновременно 3 монети по случаен начин. Каква е вероятността трите монети да са на стойност 1,20лв?

2зад/ В триъг. АВС медианата АМ и ъглополовящата ВL са перпендикулярни и имат една и съща дължина, равна на 4.Да се намери периметъра на триъг.АВС

[ева]

2 зад. Получавам отг.3([tex]\sqrt{5}[/tex]+[tex]\sqrt{13}[/tex])
Това ли е отг.?

[S.B.]

Зад.2:[tex]\triangle[/tex]ABC,AM - медиана (M[tex]\in[/tex]BC),BL - ъглополовяща (L[tex]\in[/tex]AC);AM [tex]\bot[/tex] BL, AM = BL =4;Търси се [tex]P_{ABC }[/tex];
Нека АМ X BL = т.Q; Нека [tex]\angle[/tex]ABC = 2[tex]\beta[/tex] - тогава [tex]\angle[/tex]АBL = [tex]\angle[/tex]CBL = [tex]\beta[/tex]
От AM [tex]\bot[/tex]BL и BL ъглополовяща [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\triangle[/tex]ABM e равнобедрен като АB = MB = x ,а AQ = QM = 2.Но AM е медиана [tex]\Rightarrow[/tex] CM = BM = x;
Получих,че AB = x , a BC = 2x;BL - ъглополовяща [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AL}{LC}[/tex] = [tex]\frac{AB}{BC}[/tex] = [tex]\frac{x}{2x}[/tex] или [tex]\frac{AL}{LC}[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex] и ако AL=y,то LC=2y;
Тогава [tex]P_{ABC }[/tex] = 3x + 3y = 3(x + y); Остава да намеря x и y;
За [tex]\triangle[/tex]ABL прилагам косинусова теорема: [tex]AL^{2}[/tex] = [tex]AB^{2}[/tex] + [tex]BL^{2}[/tex] - 2.AB.BL.cos[tex]\beta[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]y^{2}[/tex] = [tex]x^{2}[/tex] + [tex]4^{2}[/tex] - 2.x.4.cos[tex]\beta[/tex]
От където : cos[tex]\beta[/tex] = [tex]\frac{y^{2} - x^{2} -16}{- 8x}[/tex];(*)
За [tex]\triangle[/tex]CBL прилагам косинусова теорема: [tex]LC^{2}[/tex] = [tex]CB^{2}[/tex] + [tex]LB^{2}[/tex] - 2.CL.LB.cos[tex]\beta[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex](2y)^{2}[/tex] = [tex](2x)^{2}[/tex] + [tex]4^{2}[/tex] - 2.2x.4.cos[tex]\beta[/tex]
От където : cos[tex]\beta[/tex] = [tex]\frac{4y^{2} - 4x^{2} - 16}{- 16x}[/tex];(**)
Приравнявам (*) и (**) : [tex]\frac{y^{2} - x^{2} - 16}{- 8x}[/tex] = [tex]\frac{4y^{2} - 4x^{2} - 16}{- 16x}[/tex] за х[tex]\ne[/tex]0 и след преработка получавам :[tex]y^{2}[/tex] = [tex]x^{2}[/tex] - 8 ;
По Питагор за[tex]\triangle[/tex]AQL и [tex]\triangle[/tex]AQB съответно получавам: QL = [tex]\sqrt{y^{2} - 4}[/tex] и QB = [tex]\sqrt{x^{2} - 4}[/tex]
И от BL = BQ + QL [tex]\Rightarrow[/tex] 4 = [tex]\sqrt{x^{2} - 4}[/tex] + [tex]\sqrt{y^{2} - 4}[/tex].Образувам система:
[tex]\begin{array}{|l} \sqrt{x^{2} - 4} + \sqrt{y^{2} - 4} = 4 \\ y^{2} = x^{2} - 8 \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\sqrt{x^{2} - 4}[/tex] + [tex]\sqrt{x^{2} - 12}[/tex] = 4 ; ДМ; х [tex]\in[/tex]([tex]\sqrt{12}[/tex] , +[tex]\infty[/tex])
[tex]\sqrt{x^{2} - 4}[/tex] = 4 - [tex]\sqrt{x^{2} - 12}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\sqrt{x^{2} - 12}[/tex] = 1[tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]x^{2}[/tex] - 13 = 0 и [tex]x_{1 }[/tex] = - [tex]\sqrt{13}[/tex][tex]\notin[/tex]ДМ и [tex]x_{2 }[/tex] = [tex]\sqrt{13}[/tex][tex]\in[/tex]ДМ
[tex]y^{2}[/tex] = [tex]x^{2}[/tex] - 8 или [tex]y^{2}[/tex] = 13 - 8 = 5; [tex]y_{1 }[/tex] = -[tex]\sqrt{5}[/tex]<0,не е решение и [tex]y_{2 }[/tex] = [tex]\sqrt{5}[/tex] - решение;
[tex]P_{ABC }[/tex] = 3(x + y) или [tex]P_{ABC }[/tex] = 3([tex]\sqrt{13}[/tex] + [tex]\sqrt{5}[/tex])

[ева]

2 зад. Ще използвам означенията на S.B.И аз я реших чрез система от 2 уравнения.

( АМ е медиана) АМ=[tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]\sqrt{2(2у+у)^{2}+2x^{2}-(2x)^{2}}[/tex] ... [tex]x^{2}[/tex]=9[tex]у^{2}[/tex]-32 (1)
( BL е ъглополовяща) [tex]BL^{2}[/tex]=AB.BC-AL.CL т.е. 16=х.2х-у.2у /:2
[tex]x^{2}[/tex]=8+[tex]у^{2}[/tex] (2)