Dzi

[hyulia]

Отг CM=5

[Davids]

Задачата е типично кандидатстудентска, трябва да призная
Нека отбележим първо основната отсечка, с която ще работим, $DM = x$.
Сега ще намерим по Питагорова теорема от $\Delta ABD \Rightarrow BD = \sqrt{6^2 + 9^2} = 3\sqrt{13}$.
Нека $AMxBD = H$
Тогава $AH = \frac{AB.AD}{BD} = \frac{18}{\sqrt{13}}$
Паралелно с това имаме отново по Питагорова, но от $\Delta AMD \Rightarrow AM = \sqrt{36 + x^2}$. Тогава $MH = AM - AH = \sqrt{36 + x^2} - \frac{18}{\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{13(36 + x^2)} - 18}{\sqrt{13}}$

Остана от подобието $\Delta MHD \sim \Delta ABH$:
$\frac{x}{9} = \frac{MH}{AH} = \frac{\frac{\sqrt{13(36 + x^2)} - 18}{\sqrt{13}}}{\frac{18}{\sqrt{13}}} = \frac{\sqrt{13(36 + x^2)} - 18}{18}$
$\Rightarrow 2x + 18 = \sqrt{13(36 + x^2)}$

Дясната страна е винаги положителна, следователно нямаме нужда от проверки за подкоренни ДС, само можем да обележим, че $2x + 18 > 0$, но това така или иначе е изпълнено за всички положителни $x$, каквито все пак търсим (защото $x$ е дължина на отсечка). И повдигаме смело на втора:
$4x^2 + 4.18x + 18^2 = 13.36 + 13x^2$
$...$
$x^2 - 8x + 16 = 0$
$(x - 4)^2 = 0$
$x = 4$

И оттам вече директно следва, че $CM = CD - CM = 9 - 4 = 5$.

[123a]

Задачата се решава само с 3 реда сметки.

$MD=x, MC=9-x$

Съединяваме M и В. Тогава по Питагорова теорема в триъгълник MBC имаме $MB^2=(9-x)^2+6^2$.

ABMD е четириъгълник с взаимно перпендикулярни диагонали, откъдето следва, че $AD^2+MB^2=AB^2+MD^2$

$36+117-18x+x^2=x^2+81=>x=4=>MC=5$

[Davids]

Елегантно решение! Но на изпит следното твърдение:

ABMD е четириъгълник с взаимно перпендикулярни диагонали, откъдето следва, че $AD^2+MB^2=AB^2+MD^2$

ще си иска разработка и описание. Така ми се струва Но който се сети, е само на печалба от този подход

[123a]

Елегантно решение! Но на изпит следното твърдение:

ABMD е четириъгълник с взаимно перпендикулярни диагонали, откъдето следва, че $AD^2+MB^2=AB^2+MD^2$

ще си иска разработка и описание. Така ми се струва Но който се сети, е само на печалба от този подход

Това твърдение се доказва за няма и 1 минута. А и не мисля, че на изпит доказателство би било необходимо.

[Hephaestus]

Ето още един възможен подход към задачата:

Нека [tex]\angle ABD = \alpha[/tex]. Тогава [tex]\angle BDA = 90^\circ - \alpha \Rightarrow \angle DAM = \alpha[/tex]
Следователно [tex]\triangle BAD \sim ADM[/tex] ([tex]I[/tex] пр.) [tex]\Rightarrow \frac{AB}{DA} = \frac{DA}{MD} \Rightarrow MD = \frac{DA^{2}}{AB} = \frac{36}{9} = 4[/tex] cm,
откъдето [tex]CM = CD - MD = 9 - 4 = 5[/tex] cm.

[KOPMOPAH]

Pisaneto na latinica, pri towa negramotno (Dzi), не е проява на добър тон. Допустимо е само при писане от устройство, на което няма кирилица. Уважавайте и математиката, и българския език!