Имам затруднения относно еда задача от примерен вариант за

[Сийка]

Лицето на успоредника ABCD e 12 см 2 , а точка М е среда на DC . Намерете лицето на четириъгълника PBCM .



Много ми е трудна задачата . И ми е спешна и предваритело ВИ БЛАГОДАРЯ !

[Davids]

Я виж пак даденото, откъде се взе точка $P$?

[Сийка]

по грешка към задачата забравих да напиша че точка P е пресечна точка с отсечката AM и диагонала BD .

[Сийка]

Ако може да ми помогните за задачата . И мого много много ВИ благодаря

[123a]

[tex]\triangle[/tex]$APB$$\approx$$\triangle$$MPD$$=>\frac{S_{APB}}{S_{MPD}}=\frac{4}{1}=>S_{APB}=4t, S_{MPD}=t$

$ABMD$-трапец, откъдето следва, че $S_{APD}=S_{MPB}=x$

Понеже $BM$ е медиана в $\triangle$$BDC=>S_{MBD}=S_{MBC}=t+x$

Сега имаме $S_{MBD}+S_{MBC}+S_{APB}+S_{APD}=12=>3x+6t=12=>x+2t=4(*)$

От друга страна $S_{ABD}=\frac{1}{2}.S_{ABCD}=6=>4t+x=6(**)$

Съставяме система от $(*)$ и $(**)$

$\begin{array}{|l} x + 2t = 4=>x=4-2t \\ x +4t =6 \end{array}$

Заместваме във второто уравнение $4-2t+4t=6=>2t=2=>t=1=>x=2$

$S_{PBMC}=2x+t=2.2+1=5$

[Сийка]

Последна задача Ви моля и повече няма да Ви досаждам и ангажирам по какъвто й да е начин .

За[tex]\triangle[/tex] ABC е дадено че BL е ъглополовяща на ъгъл CBA и LM е успоредна на BC. Ако LM / BC = 2 / 3 ТО НАМЕРЕТЕ ОТНОШЕНИЕТО CB / AB на колко е равно .

[123a]

От теоремата на Талес имаме [tex]\frac{AC}{AL}=\frac{3}{2}[/tex]

От свойството на ъглополовящата имаме $\frac{BC}{AB}=\frac{CL}{AL}=\frac{1}{2}$

[S.B.]

Последна задача Ви моля и повече няма да Ви досаждам и ангажирам по какъвто й да е начин .

За[tex]\triangle[/tex] ABC е дадено че BL е ъглополовяща на ъгъл CBA и LM е успоредна на BC. Ако LM / BC = 2 / 3 ТО НАМЕРЕТЕ ОТНОШЕНИЕТО CB / AB на колко е равно .

Даден е [tex]\triangle ABC, BL -[/tex]ъглополовяща на [tex]\angle CBA, LM[/tex]II [tex]BC ,\frac{LM}{BC} = \frac{2}{3} ,[/tex] търси се [tex]\frac{CB}{AB} = ?[/tex]
[tex]LM[/tex] II [tex]BC \Rightarrow \triangle AML \approx \triangle ABC[/tex] ,по условие [tex]\frac{LM}{BC} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{AL}{AC} = \frac{2}{3} \Rightarrow AL = 2x ,AC = 3x[/tex] и тогава [tex]LC = AC - AL = 3x - 2x = x[/tex];
[tex]BL[/tex] е ъглополовяща [tex]\Rightarrow \frac{CB}{AB} = \frac{LC}{AL} = \frac{x}{2x}[/tex] от където [tex]\frac{CB}{AB} = \frac{1}{2}[/tex]

[Сийка]

Не предполагах че е имало и още една задача . Много много много ВИ БЛАГОДАРЯ ДОБРИ ХОРА .
За окръжностите k и k1 е дадено , че се пресичат в точки А и В . Общата им външна допирателна CD пресича правата АВ в точка N . Намерете отношението CN / ND .

[S.B.]

Не предполагах че е имало и още една задача . Много много много ВИ БЛАГОДАРЯ ДОБРИ ХОРА .
За окръжностите k и k1 е дадено , че се пресичат в точки А и В . Общата им външна допирателна CD пресича правата АВ в точка N . Намерете отношението CN / ND .

Дадени са окр.[tex]k1[/tex] и окр.[tex]k2[/tex];[tex]к1 \cap k2[/tex] в т.[tex]A[/tex] и т.[tex]B[/tex];
Обща допирателна [tex]t[/tex] ,която се допира до [tex]k1,k2[/tex] съответно в т. [tex]C , D[/tex]
[tex]AB[/tex] е секущата ,а [tex]CD[/tex] - допирателна,която пресича секущата [tex]AB[/tex] в т.[tex]N[/tex]
От свойството на секущата и допирателната от т.[tex]N[/tex] имаме:
за окр.[tex]k1[/tex] :[tex]NB.NA = NC^{2}[/tex]
за окр.[tex]k2[/tex] :[tex]NB.NA = ND^{2}[/tex]
Тогава : [tex]\frac{NC}{ND} = \sqrt{\frac{NB.NA}{NB.NA}} = \sqrt{1} = 1[/tex]

[Сийка]

Лицето на триъгълник АВС е S =( 15КОРЕН от 3 ) / 4 ,а радиусът на описаната окръжност е ( 7корен от 3 ) / 3 . Ако c / b / a = 7/ 5 /3 то намерете страната b .

[Davids]

Означаваме стандартно $c = 7x; b = 5x; a = 3x$. Тогава $abc = 105x^3$ и знаем, че за всеки тръгълник е вярно:
$S = \frac{abc}{4R} \Rightarrow 105x^3 = abc = 4RS = 4.\frac{15\sqrt{3}}{4}.\frac{7\sqrt{3}}{3} = 105$
$\Rightarrow x = 1$ и така $b = 5x = 5$

[Сийка]

Дължините на страните на триъгълник ABC се отнасят така ,както a / b / c = 3 / 5 / 7 . Ако r е радиусът на вписаната окръжност в триъгълник ABC , то намерете отношението a / r .
В успоредника ABCD диагоналът BD перпендикулярно AD , DM = 3 см и DM перпендикулярно AC ( M принадлежи AC ) . Ако BD = 10 см , то намерете лицето на успоредника ABCD на колко е равно .
В триъгълник две от страните имат дължини 5 и 6 , а синусът на ъгъла между тях е 0.6 . Намерете дължината на третата страна на триъгълника .

[ева]

3 зад. Дадено: [tex]\triangle[/tex]АВС ,нека АС=5,ВС=6,sin[tex]\gamma[/tex]=0,6
AB=?

Скрит текст: покажи

Задачата се решава с косинусова теорема,затова ще пресметнем колко е cos[tex]\gamma[/tex] .

[tex]sin^{2}[/tex][tex]\gamma[/tex]+[tex]cos^{2}[/tex][tex]\gamma[/tex]=1 [tex]\Rightarrow[/tex] 0,36+[tex]cos^{2}[/tex][tex]\gamma[/tex]=1 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]cos^{2}[/tex][tex]\gamma[/tex]=0,64 [tex]\Rightarrow[/tex] cos[tex]\gamma[/tex]=[tex]\pm[/tex]0,8

1 случай cos[tex]\gamma[/tex]=0,8 ([tex]\triangle[/tex]ABC е остроъгълен)
(cos T) [tex]AB^{2}[/tex]=[tex]AC^{2}[/tex]+[tex]BC^{2}[/tex]-2AC.BC.cos[tex]\gamma[/tex]
[tex]AB^{2}[/tex]=25+36-2.5.6.0,8 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AB^{2}[/tex]=13 [tex]\Rightarrow[/tex] АВ=[tex]\sqrt{13}[/tex]

2 случай cos[tex]\gamma[/tex]=-0,8 ([tex]\triangle[/tex]ABC е тъпоъгълен)
(cos T) [tex]AB^{2}[/tex]=[tex]AC^{2}[/tex]+[tex]BC^{2}[/tex]-2AC.BC.cos[tex]\gamma[/tex]
[tex]AB^{2}[/tex]=25+36-2.5.6(-0,8) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AB^{2}[/tex]=109 [tex]\Rightarrow[/tex] AB=[tex]\sqrt{109}[/tex]

Отговор:[tex]\sqrt{13}[/tex] ; [tex]\sqrt{109}[/tex]

[S.B.]

Дължините на страните на триъгълник ABC се отнасят така ,както a / b / c = 3 / 5 / 7 . Ако r е радиусът на вписаната окръжност в триъгълник ABC , то намерете отношението a / r

[tex]a : b : c = 3 : 5 : 7 \Rightarrow a = 3x , b = 5x , c = 7x[/tex] По Хероновата формула : [tex]S = \sqrt{p.(p - a)(p = b)(p - c)}[/tex]
[tex]p = \frac{15x}{2} , p - a = \frac{9x}{2} , p - b = \frac{5x}{2} , p - c = \frac{x}{2}[/tex] и [tex]S = \sqrt{\frac{15x}{2}.\frac{9x}{2}.\frac{5x}{2}.\frac{x}{2}} = \frac{15x^{2}\sqrt{3}}{4}[/tex]
Ho знаеш също,че [tex]S = p.r = \frac{15x}{2}.r \Rightarrow \frac{15x}{2}.r = \frac{15x^{2}\sqrt{3}}{4}[/tex] От където се получава : [tex]x = \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}.r}{3}[/tex]
Знаеш,че [tex]a = 3x \Rightarrow a = 3.\frac{2\sqrt{3}.r}{3}[/tex] или [tex]a = 2\sqrt{3.r}[/tex] и тогава [tex]\frac{a}{r} = \frac{2\sqrt{3}.r}{r} = 2\sqrt{3}[/tex]

[S.B.]

В успоредника ABCD диагоналът BD перпендикулярно AD , DM = 3 см и DM перпендикулярно AC ( M принадлежи AC ) . Ако BD = 10 см , то намерете лицето на успоредника ABCD на колко е равно

Нека [tex]AC \cap BD = O[/tex] Разглеждаш [tex]\triangle MOD[/tex],който е правоъгълен; [tex]DM = 3, DO = \frac{DB}{2} = 5 \Rightarrow[/tex] по Питагор [tex]MO = 4[/tex]
Нека [tex]\angle MOD = \varphi , sin\varphi = \frac{3}{5} , cos\varphi = \frac{4}{5}[/tex]. Но за [tex]\triangle AOD,[/tex] също правоъгълен [tex]cos\varphi = \frac{DO}{AO}[/tex] или [tex]\frac{5}{AO} = \frac{4}{5}[/tex] от където [tex]AO = \frac{25}{4} , AC = 2.AO = \frac{25}{2}[/tex]
[tex]S_{ABCD } = \frac{AC.BD}{2}.sin\varphi = \frac{\frac{25}{2}.10}{2}.\frac{3}{5}[/tex] или [tex]S_{ABCD } = \frac{75}{2} = 37,5[/tex]

[Сийка]

За триъгълник ABC е дадено , ъгъл BAC = 135 ГРАДУСА , BH1 перпендикулярно на AC и CH2 перпендикулярно AB . Лицето на триъгълник AH1H2 = 25 см 2 . Намерете лицето на триъгълник ABC .

[Davids]

За триъгълник ABC е дадено , ъгъл BAC = 135 ГРАДУСА , BH1 перпендикулярно на AC и CH2 перпендикулярно AB . Лицето на триъгълник AH1H2 = 25 см 2 . Намерете лицето на триъгълник ABC .

От условието следва, че $\angle BAH_1 = \angle CAH_2 = 45^{\circ}$, следователно $\Delta BAH_1$ и $\Delta CAH_2$ са равнобедрени правоъгълни триъгълници. Означаваме $BA = AH_1 = x$ и $CA = AH_2 = y$ и така за лицето на $S_{AH_1H_2} = 25 = \frac{xy.sin135}{2} \Rightarrow xy = 50\sqrt{2}$
Паралелно с това имаме и $AB = \sqrt{2}x$ и $AC = \sqrt{2}y$, така че $S_{ABC} = \frac{\sqrt{2}x.\sqrt{2}y.sin135}{2} = \frac{\sqrt{2}xy}{2} = \frac{\sqrt{2}.50\sqrt{2}}{2} = 50cm^2$

[S.B.]

За триъгълник ABC е дадено , ъгъл BAC = 135 ГРАДУСА , BH1 перпендикулярно на AC и CH2 перпендикулярно AB . Лицето на триъгълник AH1H2 = 25 см 2 . Намерете лицето на триъгълник ABC .

Малко ме обърква "25 см 2" но ще преиема ,че [tex]S_{AH_{1 }H_{2 } } = 25[/tex][tex]см^{2}[/tex]
За [tex]\triangle AH_{1 }B[/tex] - имаме :[tex]\angle BAH_{1 } = 45^\circ[/tex] като съседен на [tex]\angle BAC = 135^\circ[/tex] и [tex]\Rightarrow \triangle ABH_{1 }[/tex] е равнобедрен правоъгълен и нека [tex]AH_{1 } = BH_{1 } = h_{1 } \Rightarrow AB = h_{1 }\sqrt{2}[/tex] (По Питагор);
Аналогично за [tex]\triangle ACH_{2 }[/tex] и [tex]AH_{2 } = CH_{2 } = h_{2 } , AC = h_{2 }\sqrt{2}[/tex]
[tex]S_{H_{1 }H_{2 }A } = \frac{AH_{1 }.AH_{2 }}{2}.sin135^\circ = \frac{h_{1 }.h_{2 }}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} = 25[/tex] от където [tex]h_{1 }.h_{2 } = 50\sqrt{2}[/tex]
[tex]S_{ABC } = \frac{AB.AC}{2}.sin135^\circ = \frac{h_{1 }\sqrt{2}.h_{2 }\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{h_{1 }h_{2 }\sqrt{2}}{2} = \frac{50\sqrt{2}\sqrt{2}}{2} = 50[/tex][tex]см^{2}[/tex]

[Сийка]

В равностранния триъгълник ABC лъчите AM , AN и AP разделят ъгъл BAC на четири равни части . Намерете отношението CM / MN / NB / BP на колко е равно .
И не съм сигурна за втората задача ако може да видя Вашият начин
Отношението на страните на триъгълник ABC е a / b / c = 5 / 4 / 3 . Намерете отношението на височините ha , hb , hc .

[Сийка]

Имам въпрос диагоналите в правоъгълен трапец перпендикулярни ли са ? Дайте ми , моля указание как да реша следната задача
В правоъгълен трапец ABCD ( AB УСПОРЕДНО НА CD ) точка O е пресечна точка на диагоналите му . Ако дължините на основите на трапеца са 4 и 8 , а S BOC = 32 / 3 то намерете бедрото AD .

[Сийка]

Много ми трябват тези задачи . След две години съм на матура и се готвя самичка . Много много много Ви БЛАГОДАРЯ ! Следващите АЗ ЩЕ СИ ГИ РЕШАВАМ .

[Сийка]

Много много много Ви Благодаря !

[Сийка]

МОЛЯ ПОМОГНЕТЕ МИ !

[ева]

Не във всеки правоъг. трапец диагоналите са взаимно перпендикулярни.
( В тази зад.AD се явява височина в ABCD ) AD=h =?
Построяваме височините ОН,ОТ в [tex]\triangle[/tex]АВО,[tex]\triangle[/tex]OCD .Означаваме: OH=[tex]h_{1 }[/tex],OT=[tex]h_{2 }[/tex] (тогава HT=AD=h=[tex]h_{1 }[/tex]+[tex]h_{2 }[/tex])
[tex]S_{OBC }[/tex]+[tex]S_{OCD }[/tex]=[tex]S_{BCD }[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{32}{3}[/tex]+[tex]\frac{CD.h_{2 }}{2}[/tex]=[tex]\frac{CD.h}{2}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{32}{3}[/tex]+[tex]\frac{4h_{2 }}{2}[/tex]=[tex]\frac{4h}{2}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] 2h=2[tex]h_{2 }[/tex]+[tex]\frac{32}{3}[/tex]

Скрит текст: покажи

Както писахме по-горе h=[tex]h_{1 }[/tex]+[tex]h_{2 }[/tex] (1) ;Тогава последното ур-е ще стане :

2([tex]h_{1 }[/tex]+[tex]h_{2 }[/tex])=2[tex]h_{2 }[/tex]+[tex]\frac{32}{3}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]h_{1 }[/tex]=[tex]\frac{16}{3}[/tex] (2)
Намери още една връзка м/у [tex]h_{1 }[/tex] и [tex]h_{2 }[/tex] ,използвай (1) и (2) и реши получената с-ма.
Аз получавам отговор 8.