Парамертрично уравнение x^2 - 2(m + 1)x - m^2 - 2m - 2 = 0

[S.B.]

Дадено е уравнението:
[tex]x^{2} - 2(m + 1)x - m^{2} - 2m -2 = 0[/tex],където [tex]m[/tex] е реален параметър.
а) Да се докаже,че за всяка стойност на [tex]m[/tex] уравнението има корени с различни знаци;
б)За кои стойности на [tex]m[/tex] разликата от корените на уравнението е 6?

[Davids]

a) Трябва да докажем, че два корена винаги има и че техните знаци са различни. Съставяме за целта системата:
[tex]\begin{array}{|l} D > 0 \\ x_1x_2 < 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 4(m + 1)^2 + 4(m^2 + 2m + 2) > 0 \\ -(m^2 + 2m + 2) < 0 \end{array}[/tex]
Взимаме първото неравенство, делено на 4, опростяваме и достигаме до: $2m^2 + 4m + 3 > 0$, чиято дискриминанта е строго отрицателна и уравнението е изпълнено $\forall m$
Второто неравенство делим на $-1$ и достигаме до: $m^2 + 2m + 2$, което също има отрицателна дискриминанта и схемата е аналогична.
С това приключва подточка a).

б) Искаме $|x_1 - x_2| = 6$, тъй като не ни е уточнена разликата между кой от кой корен (приемаме за модулно абсолютно отстояние).
Повдигаме на втора:
$x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 = 36$
$(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 36$

Заместваме по Виет и достигаме до:
$4(m + 1)^2 + 4(m^2 + 2m + 2) = 36$

Делим на 4, прехвърляме, опростяваме и достигаме до:
$m^2 + 2m - 3 = 0$

Решения са $m_1 = -3; m_2 = 1$.