Да се реши системата:

[S.B.]

[tex]\begin{array}{|l}x^{2} + 3xy - y^{2} = 3 \\2x^{2} + 5xy + y^{2} = 8 \end{array}[/tex]

[Davids]

[tex]\begin{array}{|l}x^{2} + 3xy - y^{2} = 3 \\2x^{2} + 5xy + y^{2} = 8 \end{array}[/tex]

Умножаваме двете страни на уравненията респективно с 8 и 3 и получаваме:
$8x^2 + 24xy - 8y^2 = 24 = 6x^2 + 15xy + 3y^2$
$2x^2 + 9xy - 11y^2 = 0 |:y^2 \ne 0$

Полагаме $t = \frac{x}{y}$:
$2t^2 + 9t - 11 = 0$
$t_1 = -\frac{11}{2}; t_2 = 1$

I) случай:
$\begin{array}{|l} \frac{x}{y} = -\frac{11}{2} \Rightarrow x = -\frac{11y}{2} \\ x^2 + 3xy - y^2 = 3 \end{array}$
$\Rightarrow \frac{121y^2}{4} -\frac{11y}{2}.3y - y^2 = 3$
$121y^2 - 66y^2 - 4y^2 = 12$
$17y^2 = 4$
$y = \pm \frac{2\sqrt{17}}{17} \Rightarrow x = \mp \frac{11\sqrt{17}}{17}$

II) случай:
$\begin{array}{|l} \frac{x}{y} = 1 \Rightarrow x = y \\ x^2 + 3xy - y^2 = 3 \end{array}$
$\Rightarrow x^2 + 3x^2 - x^2 = 3$
$x^2 = 1$
$x = \pm 1 = y$

И така четири окончателни двойки решения са:
$(\frac{2\sqrt{17}}{17}; -\frac{11\sqrt{17}}{17}), (-\frac{2\sqrt{17}}{17}; \frac{11\sqrt{17}}{17}), (1; 1), (-1; -1)$