Външнодопиращи се окръжности

[антонийо]

IMG_20190812_201248.jpg (148.27 KiB) Прегледано 1040 пъти

условието на задачата не се вижда на чертежа се вижда горе - долу
На чертежа MA и MB са общите външни допирателни към външнодопиращите се окръжности k и k1 . Ако AC =1,5 dm , то намерете периметърът P на четириъгълника ABCD .

[S.B.]

IMG_20190812_201248.jpg

условието на задачата не се вижда на чертежа се вижда горе - долу
На чертежа MA и MB са общите външни допирателни към външнодопиращите се окръжности k и k1 . Ако AC =1,5 dm , то намерете периметърът P на четириъгълника ABCD .

Антонийо,ти наистина ни считаш за богове!!!

[антонийо]

не се ли вижда ясно задачата

[антонийо]

ето пак се опитах да снимам

IMG_20190812_201559 (2).jpg (149.54 KiB) Прегледано 1014 пъти

[S.B.]

Струва ми се ,че при така зададената задача този периметър не може да се определи.Нищо друго не виждам да е дадено освен това разстояние $AC = 1,5$ Би трябвало да има и някаква друга информация.Може и аз да греша но задачата ми се струва неопределена (освен ако има нещо друго което аз не мога да забележа на този чертеж)

[Gruicho]

Братле, ти си най-калпавия фотограф!!!!!!!!!!!

[антонийо]

ще се опитам пак .отговора иначе е 6 dm

[антонийо]

ето пак . последно. дано се получи

WIN_20190812_23_55_04_Pro.jpg (177.94 KiB) Прегледано 1005 пъти

[Davids]

Струва ми се ,че при така зададената задача този периметър не може да се определи.Нищо друго не виждам да е дадено освен това разстояние $AC = 1,5$ Би трябвало да има и някаква друга информация.Може и аз да греша но задачата ми се струва неопределена (освен ако има нещо друго което аз не мога да забележа на този чертеж)

Според мен можем да го измъдрим, ако спуснем правата на средната отсечка в търсения трапец. Тя ще пресича и двете равни бедра през средата им (по свойството на допирателните, двете части от бедрото ще трябва да са равни на разстоянието до точката на допир на двете окръжности), а паралелно с това и тази същата точка лежи на правата, дефинирана от центровете и точка М, което ни дава аналогична симетрия и за другото бедро, т.е. ще е равна от сбора на две половинки бедро, т.е. на бедрото. Оттам и сбора на двете основи е равен на сбора от бедрата, т.е. обиколката е 6. Не знам доколко се разбира какво приказвам, и на мен ми се струва паянтава обосновката, но е такъв резултата... смятам

[антонийо]

значи построявам средната основа която минава през средите на двете равни бедра и само това разбрах ? и след това какво

[S.B.]

Без заглавие (41).png (315.14 KiB) Прегледано 929 пъти

[tex]MA = MB ,MC = MD \Rightarrow BD = AC = 1,5[/tex]
През допирната точка на двете окръжности т.$T$ построявам общата вътрешна допирателна $t \bot O_{1 }O_{2 }$
$t \cap AC = K ,t\cap BD = N$
$KA = KT,KC = KT$ като допирателни от външна точка към окръжностите $ \Rightarrow AK = KC = KT = \frac{AC}{2} = \frac{1,5}{2}$
Аналогично $NB = NT = ND = \frac{1.5}{2}$
Получи се,че $NK = 1.5$,също така,че $N$ и $K$ са среди на $BD$ и $AC$ $ \Rightarrow NK$ е средна отсечка и
$NK = \frac{AB + CD}{2} = 1,5 \Rightarrow AB + CD = 3 \Rightarrow B_{ABCD } = AB + BC + CD + AD = 6$

[123a]

Още един начин. Разглеждаме чертежа на S.B

Нека спуснем правите $AT,CT,BT,DT$ към допирната точка $T$ на двете окръжности.

Нека [tex]\angle AO_1M = \angle CO_2M=\alpha=> \angle AMO_1=90-\alpha => \angle AMB=180-2\alpha=> \angle MAB= \angle ABM=\alpha[/tex]

$\angle TAC=\frac{\widehat {AT}}{2}=\frac{\alpha}{2}$ като периферен $=>AT$ е ъглополвяща на $ \angle MAB$

$\angle ACT = \frac{\widehat {CT}}{2}=\frac{90-\alpha}{2}$ като периферен $=>CT$ е ъглополвяща на $ \angle ACD$

$\angle TBD=\frac{\widehat {BT}}{2}=\frac{\alpha}{2}$като периферен $=>BT$ е ъглополвяща на $ \angle ABM$

Знаем, че необходимо и достатъчно условие един четириъгълник да е описан около окръжност е три негови ъглополовящи да се пресичат в една точка. Както виждаме ъглополовящите $CT,AT, BT$ се пресичат в една точка, откъдето следва,че в $ABCD$ може да се впише окръжност.

Тогава $AB+CD=BD+CA=>P=6$

[S.B.]

Още един начин. Разглеждаме чертежа на S.B
..................
Знаем, че необходимо и достатъчно условие един четириъгълник да е описан около окръжност е три негови ъглополовящи да се пресичат в една точка. ...

И още един начин да се докаже,че ъглополовящите се пресичат в една точка:
От $AK = KT = KC$ [tex]\Rightarrow \triangle ATC[/tex] е правоъгъгълен (медианата е половината от хипотенузата)
$\Rightarrow \angle KAT + \angle KCT = 90^\circ$ но $ \angle ACD + \angle CAB = 180^\circ$ (като прилежащи ) $\Rightarrow AT $ и $CT$ са ъглополовящи.
Аналогично се доказва,че $\triangle BTD$ е правоъгълен и $BT$ и $DT$ са ъглополовящи.
На лице е НДУ в $ABCD$ да може да се впише окръжност ,тъй като ъглополовящите на поне 3 ъгъла се пресичат в т.$T$
$\Rightarrow AB + CD = AC + BD = 3 \Rightarrow P_{ABCD } = 6$