Синусова теорема

[Kristina666]

Задачата е от сборник за подготовка за дзи .

[Davids]

Около ABCD може да се опише окръжност. Следователно $\angle CAD = \angle CBD = 45^{\circ}$ и $\angle BAC = \angle BDC = \alpha$. Нека $BD \cap AC = P$. $\triangle BCP$ е правоъгълен с 45 градусов ъгъл, значи е равнобедрен, оттам и $BC = CP$. По синусова теорема за $\triangle CDP$ имаме $\frac{CP}{sin\alpha} = \frac{CD}{sin135^{\circ}}$. Взимаме предвид, че $\sin\alpha = \frac{BC}{6\sqrt{2}} = \frac{PC}{6\sqrt{2}}$ и получаваме $CD = \frac{CP}{\frac{CP}{6\sqrt{2}}}.\frac{1}{\sqrt{2}} = 6$.

[S.B.]

Без заглавие (59).png (280.04 KiB) Прегледано 466 пъти

Двата триъгълника са правоъгълни с обща хипотенуза и върховете им срещу хипотенузата са в една и съща полуравнина [tex]\Rightarrow[/tex] хипотенузата им е диаметър на описана около тях окръжност.
Върховете на $\triangle ACD$ принадлежат на същата окръжност . За $\triangle ACD$ прилагам синусова теорема:
$\displaystyle\frac{DC}{sin\angle CAD} = 2R \Leftrightarrow\displaystyle\frac{DC}{sin45^\circ} = 2R \Leftrightarrow \displaystyle \frac{DC}{\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}} = 6\sqrt{2} \Rightarrow DC = \frac{\sqrt{2}}{2}.6\sqrt{2}$
$$DC = 6$$