Намерете лицето на триъгълника AMN .

[Сийка]

Даден е триъгълник със страни AB= 4см ,BC= 2см , AC = 3 см . Вписаната окръжност се допира до страните AB и AC съответно в точките M и N . Намерете лицето на триъгълника AMN .

[Добромир Глухаров]

$S_{\Delta ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$p=\frac{4+2+3}{2}=\frac{9}{2}$

$S=\sqrt{\frac{9}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{3}{2}}=\frac{3}{2}\sqrt{15}$

$S=pr\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{3}{2}\sqrt{15}}{\frac{9}{2}}=\frac{\sqrt{15}}{6}$

Косинусова Теорема за $\Delta ABC\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2-2.AB.AC.cos\alpha$

$\Rightarrow 4=16+9-2.4.3.cos\alpha\Rightarrow cos\alpha=\frac{21}{24}$

$\Delta AMO$ - правоъгълен $\Rightarrow AM=r.cotg\frac{\alpha}{2}=r\sqrt{\frac{1+cos\alpha}{1-cos\alpha}}=\frac{\sqrt{15}}{6}\cdot\sqrt{\frac{45}{3}}$

$AM=\frac{15}{6}=2,5$

$S_{\Delta AMN}=\frac{1}{2}AM.AN.sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot2,5^2.\sqrt{1-cos^2\alpha}=\frac{6,25}{2}\cdot\sqrt{\frac{24^2-21^2}{24^2}}=$

$=3,125.\sqrt{\frac{(24-21).(24+21)}{24^2}}=3,125.\sqrt{\frac{3.45}{24^2}}=\frac{25}{8}\cdot\frac{3.\sqrt{15}}{24}=\frac{25\sqrt{15}}{64}$

$S_{\Delta AMN}=\frac{25\sqrt{15}}{64}$ см²