Матура 2019

[Kristina666]

Здравейте, срещнах някой затруднения в тазгодишната матура и ще съм много благодарна, ако някой ми помогне с решението на няколко задачи.
Благодаря предварително!

[S.B.]

Без заглавие (95).png (219.64 KiB) Прегледано 590 пъти

Задача 20:
$\angle DAE = \angle CAB - \angle DAB = 60^\circ - 45^\circ = 15^\circ$
[tex]\triangle DAE[/tex] е вписан в окръжността,можем да приложим Синусова теорема:

$\frac{DE}{sin \angle DAE} = 2R \Leftrightarrow \frac{DE}{sin 15^\circ} = AB$

[tex]sin^{2}15^\circ = \frac{1 - cos30^\circ}{2} = \frac{2 -\sqrt{3} }{4} \Rightarrow sin15^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{3}}[/tex]

$\displaystyle\frac{DE}{\displaystyle\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}} = 20 \Rightarrow DE = 10\sqrt{2 - \sqrt{3}}$

[S.B.]

Задача 23:

$b_{n } = 3n - 1 \Rightarrow $
$b_{1 } = 3.1 - 1 = 2 ; b_{2 } = 3.2 - 1 = 5 ; d = b_{2 } - b_{1 } = 5 - 2 = 3 $
$ b_{20 } = b_{1 } + 19.d = 2 + 57 = 59$
[tex]S_{20 }= \frac{b_{1 } + b_{20 }}{2}.20 \Leftrightarrow \frac{2 + 59}{2}. 20 = 610[/tex]
$a_{n } = S_{20 } = 610$
$a_{n } = a_{1 } + (n - 1)d \Leftrightarrow 2 + (n - 1).4 = 610 \Leftrightarrow 2n = 306 \Rightarrow n = 153$

[S.B.]

Без заглавие (96).png (251.86 KiB) Прегледано 586 пъти

Задача 25:
Използваш формулата за намиране на медианата :
[tex]m_{a } = \frac{1}{2}\sqrt{2b^{2} + 2c^{2} - a^{2}}[/tex] и получаваш $AM = 5$
За $\triangle AMC \rightarrow CN $ е ъглополовяща и от свойството на ъглополовящите имаш $\frac{AN}{NM} = \frac{6}{2}$
$AN = x , NM = 5 - x \rightarrow \frac{x}{5 - x} = 3 \Leftrightarrow 4x = 15 \Rightarrow x = 3,75$
$AN = 3,75 , NM = 1,25 \Rightarrow AN - NM = 2,5$

[S.B.]

Без заглавие (98).png (211.01 KiB) Прегледано 585 пъти

Задача 18:
[tex]S_{кръга } = \pi r^{2} = \frac{3\pi}{4} \Rightarrow r = \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
За $\triangle AHD \rightarrow DH = 2r = \sqrt{3} ; \frac{DH}{AD} = sin60^\circ \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow a = 2$
$S_{ABCD } = a.2r = 2\sqrt{3}$

[S.B.]

Без заглавие (95).png

Задача 20:
$\angle DAE = \angle CAB - \angle DAB = 60^\circ - 45^\circ = 15^\circ$
[tex]\triangle DAE[/tex] е вписан в окръжността,можем да приложим Синусова теорема:

$\frac{DE}{sin \angle DAE} = 2R \Leftrightarrow \frac{DE}{sin 15^\circ} = AB$

[tex]sin^{2}15^\circ = \frac{1 - cos30^\circ}{2} = \frac{2 -\sqrt{3} }{4} \Rightarrow sin15^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{3}}[/tex]

$\displaystyle\frac{DE}{\displaystyle\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}} = 20 \Rightarrow DE = 10\sqrt{2 - \sqrt{3}}$

Аз съм получила [tex]10\sqrt{2 - \sqrt{3}}[/tex] ,а отговорът който авторите дават е [tex]5(\sqrt{6} - \sqrt{2})[/tex]
Правя следната преработка:
$5(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 5\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1) = 5 \sqrt{[\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1)]^{2}} = 5\sqrt{2(3 - 2\sqrt{3} + 1)} = 5\sqrt{2(4 - 2\sqrt{3)}} = $
$5\sqrt{4(2 - \sqrt{3}}) = 10\sqrt{2 - \sqrt{3}}$
Доказaх,че двата отговора са идентични:$$10\sqrt{2 - \sqrt{3}} = 5 (\sqrt{6} - \sqrt{2}) $$