Намерете отношението на лицата

[Сашкопетка]

Точката M е медицентърът на триъгълник ABC , а точката P лежи върху страната AB , като AP / PB = 2 / 1 . Намерете отношението на лицата на триъгълниците BMP И ABC .

[S.B.]

Без заглавие (57).png (219.13 KiB) Прегледано 436 пъти

Точката M е медицентърът на триъгълник ABC , а точката P лежи върху страната AB , като AP / PB = 2 / 1 . Намерете отношението на лицата на триъгълниците BMP И ABC .

Нека [tex]S_{ABC } = S[/tex]
$AK$ е медиана $\Rightarrow S_{AKB } = \frac{S}{2}$

$\frac{AK}{AM} = \frac{AB}{AP} = \frac{3}{2} ,\angle BAK$ е общ $\Rightarrow \triangle ABK\approx \triangle APM \Rightarrow \displaystyle\frac{S_{ABK }}{S_{APM }} = (\displaystyle\frac{3}{2})^{2} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{S}{2}}{S_{APM }} = \displaystyle\frac{9}{4} \Rightarrow S_{APM } = \displaystyle\frac{2}{9}.S$

$MQ$ е медиана в $\triangle APM \Rightarrow S_{AQM } = S_{QPM } = \frac{1}{2}S_{APM } \Leftrightarrow S_{AQM } = S_{PQM } = \frac{1}{9}S$

$MP$ е медиана в $\triangle QBM \Rightarrow S_{PBM } = S_{QPM } = \frac{1}{9}S$

$$\displaystyle\frac{S_{QPM}}{S_{ABC }} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{S}{9}}{S} = \frac{1}{9}$$