от сборник просвета- зад 5

[Павел]

WIN_20191110_17_31_00_Pro.jpg (180.16 KiB) Прегледано 640 пъти

- зад 5

[Davids]

Ще започна с отговора, който получавам:
$S = \frac{1}{4}d^2cotg^2\alpha.tg2\alpha$

[Павел]

и как така се използва диаметъра как го преобразува

[Павел]

трудно ми е да направя това преобразувание

[Павел]

може ли решението

[Davids]

Нямам време да чертая, така че ще карам описателно.
Нека $CH$ е височината към основата и $O$ е центърът на вписаната окръжност, чийто радиус $r = \frac{d}{2} = HO$. Тогавa $AO$ е ъглополовяща на $\angle BAC = 2\alpha$ и от правоъгълният $\Delta AHO$ извеждаме:
$cotg\alpha = \frac{a}{2r} \Rightarrow a = 2rcotg\alpha = dcotg\alpha$ е основата.

От правоъгълния $\Delta AHC$ извеждаме по дефиниция отново:
$tg2\alpha = \frac{h}{\frac{a}{2}} \Rightarrow h = \frac{a}{2}tg2\alpha = \frac{1}{2}dcotg\alpha.tg2\alpha$

Тогава лицето на триъгълника става $S = \frac{ah}{2} = \frac{1}{4}d^2cotg^2\alpha.tg2\alpha$

[Евва]

Ето и моята идея . Дано сте учили тази формула .

[tex]S_{\triangle }[/tex]=[tex]r^{2}[/tex]cotg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]cotg[tex]\frac{\beta}{2}[/tex]cotg[tex]\frac{\gamma}{2}[/tex]

В тази задача [tex]\frac{\alpha}{2}[/tex] е [tex]\alpha[/tex] , [tex]\frac{\beta}{2}[/tex] също е [tex]\alpha[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{\gamma}{2}[/tex]=90[tex]^\circ[/tex]-2[tex]\alpha[/tex]

[tex]S_{\triangle }[/tex]=([tex]\frac{d}{2})^{2}[/tex]cotg[tex]\alpha[/tex]cotg[tex]\alpha[/tex]cotg(90[tex]^\circ[/tex]-2[tex]\alpha[/tex])

[tex]S_{\triangle }[/tex]=[tex]\frac{1}{4}[/tex][tex]d^{2}[/tex][tex]cotg^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]tg2[tex]\alpha[/tex]

[S.B.]

Без заглавие (86).png (241.27 KiB) Прегледано 569 пъти

Ето и с чертеж
От [tex]\triangle HBO \rightarrow cotg\alpha = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{a}{2}}{\displaystyle\frac{d}{2}} \Rightarrow a = d.cotg\alpha[/tex]
От $\triangle CHB \rightarrow \displaystyle\frac{h}{\displaystyle\frac{a}{2}} = tg2\alpha \Rightarrow h = \frac{a}{2}.tg2\alpha = \frac{d}{2}.cotg\alpha.tg2\alpha$
$S= \frac{1}{2}ah \Leftrightarrow S = \frac{1}{2}d.cotg\alpha.\frac{d}{2}.cotg\alpha.tg2\alpha = \frac{1}{4}d^{2}cotg^{2}\alpha.tg2\alpha$