задача от сборник просвета

[антонийо]

WIN_20191116_14_35_17_Pro.jpg (161.87 KiB) Прегледано 511 пъти

- задача от сборник просвета задача - 17 та

[S.B.]

Без заглавие (32).png (229.57 KiB) Прегледано 495 пъти

[tex]S_{OMBN } = 36 , OMBN[/tex] е квадрат със страна $R$ ,където $R$ е радиус на външно вписаната окръжност.
$R^{2} = 36 \Rightarrow R = 6$
От свойството на допирателни от външна точка $\Rightarrow AM = AP , CN = CP \Rightarrow AM + NC = AP + PC = AC$
От $\triangle ABC \rightarrow AQ + KC = AC$
$2R = MB + NB =$
$ = (MA + AQ + QB) + (NC + CK + KB) =$
$= (AM + NC) + (AQ + CK) + (QB + BK) = 2AC + 2r \Rightarrow$
$ R = AC + r$
$R = 6 , AC = 12(\sqrt{2} - 1) \Rightarrow 12(\sqrt{2} - 1) + r = 6 \Rightarrow r = 6 - 12(\sqrt{2} - 1) = 6 - 12\sqrt{2} + 12 \Rightarrow$
$r = 18 - 12\sqrt{2}$

[Евва]

Като прочетох външно вписана окръжност ,ми хрумна идеята да използвам формулата
[tex]S_{ABC }[/tex]=(p-b)[tex]r_{b }[/tex] ,където b=AC , [tex]r_{b }[/tex]=R=6 см.
___________________________________________________________________
АВ+ВС=R-MA+R-CN=2.6-(AP+CP)=12-AC=12-12([tex]\sqrt{2}[/tex]-1)=24-12[tex]\sqrt{2}[/tex] т.е. АВ+ВС=24-12[tex]\sqrt{2}[/tex] (1)

Тогава [tex]р_{АВС }[/tex]=[tex]\frac{Р}{2}[/tex]=[tex]\frac{(АВ+ВС)+АС}{2}[/tex]=[tex]\frac{24-12\sqrt{2}+12(\sqrt{2}-1)}{2}[/tex]=6 т.е. р=6 см. (2)

pr=[tex]S_{ABC }[/tex]=(p-b)[tex]r_{b }[/tex] т.е. pr=(p-b)[tex]r_{b }[/tex]

6r=[ 6-12([tex]\sqrt{2}[/tex]-1) ]6 |:6[tex]\ne[/tex]0

r=6-12[tex]\sqrt{2}[/tex]+12

r=18-12[tex]\sqrt{2}[/tex] см.