Примерен изпит - задача с решаване на триъгълник

[антонийо]

Да се намерят всички триъгълници с дължини на страните три последователни естествени числа , в които единият от ъглите е 2 пъти по- малък от другия.
използвах две косинусови теореми съставих система но не се получава . и край отказах се вече . ако можете ми помогнете .моля

отгово ТРИЪГЪЛНИК СЪС СТРАНИ 4 , 5 И 6

[ptj]

Страни: [tex]x-1;x,x+1[/tex].

Намираш [tex]S[/tex] от Xероновата формула (функция на x).

Изразяваш лицето 2 пъти чрез две страни и ъгъл, и намираш синусите на интересуващите те два ъгъла. (има 3 случая или по-малко)

Заместваш намереното в [tex]sin(2\alpha)=2.sin\alpha.cos\alpha=2.sin\alpha\sqrt{1-sin^2\alpha}[/tex].

Само не съм сигурен дали уравнението, което ще се получи ще е достъпно за решаване със знанията на един ученик.

[Евва]

Съставих система от 1 cos и 1 sin теорема .

[tex](x-1)^{2}[/tex]=[tex]x^{2}[/tex]+[tex](x+1)^{2}[/tex]-2x(x+1).cos[tex]\beta[/tex]

[tex]\frac{x+1}{sin(2\beta)}[/tex]=[tex]\frac{x-1}{sin\beta}[/tex]

Получих х=5 [tex]\Rightarrow[/tex] страните са 4;5;6

[Евва]

Сега я реших по 2 случай ,като приех,че с/у [tex]\angle[/tex][tex]\beta[/tex] лежи страната х-1 ,
а с/у [tex]\angle[/tex]2[tex]\beta[/tex] лежи страната х .
В този случай получих 1,2 и 3 за страни на триъгълника .
Антонийо,досещаш ли се защо това не е посочено като отговор