изпит 2016

[Тодор Ясенов]

При първия месец от съществуването си новоучредената фирма ''Възход 2016'' имала 4100 лв. разходи , а приходите й били 2450 лв . От всеки следващ месец приходите на фирмата се увеличили с по 600 лв. , а разходите й намалявали с по 500 лв . След колко месеца общата сума на приходите е надминала общата сума на разходите ,т.е фирмата е '' излязла на печалба '' ?

[Добромир Глухаров]

$R_n$ - разходи след $n$ месеца

$P_n$ - приходи след $n$ месеца

$R_0=4100;\ R_n=R_0-500n$

$P_0=2450;\ P_n=P_0+600n$

$P_n>R_n$

$2450+600n>4100-500n$

$1100n>1650\Rightarrow22n>33\Rightarrow n>1,5$

Отговор: След 2 месеца. Приходи: $P_2=2450+600.2=3650$. Разходи: $R_2=4100-500.2=3100$

[Тодор Ясенов]

защо отговора е 5 месеца

[Добромир Глухаров]

защо отговора е 5 месеца

Ами защото съм блеял . Не съм обърнал внимание, че е казано "общата сума на разходите", съответно "общата сума на приходите".

$r_n$ - разходи през $n$-тия месец
$p_n$ - приходи през $n$-тия месец

$p_n=2450+600(n-1)$
$r_n=4100-500(n-1)$

$R_n$ - общо разходи през първите $n$ месеца
$P_n$ - общо приходи през първите $n$ месеца

$P_n=p_1+p_2+p_3+\cdots+p_n=2450n+600\cdot\frac{n(n-1)}{2}$
$R_n=r_1+r_2+r_3+\cdots+r_n=4100n-500\cdot\frac{n(n-1)}{2}$

$P_n>R_n\Rightarrow2450n+300n^2-300n>4100-250n^2+250n\Rightarrow550n^2-550n-1650n>0$

$550n(n-4)>0\Rightarrow n<0\vee n>4$

Но $n\geq0$, тъй като броим месеците напред във времето, следователно първият месец, в който фирмата е излязла на печалба, е петият.