задача 15 от примерен вариант за матура

[антонийо]

WIN_20200217_20_18_31_Pro.jpg (160.73 KiB) Прегледано 1154 пъти

отг е г

[123a]

Нека продължим правата $AK$ и нека пресича описаната окръжност в т.Е. Тогава AE-диаметър и $AE=\frac{b}{sin\alpha}$

От синусова теорема в[tex]\triangle ABC => AB=2bcos\alpha[/tex]

$\angle AEB=\angle ACB=180-2\alpha$
$\angle KBE=90-\alpha=> \angle EKB=3\alpha-90 => \angle EAB=2\alpha-90$

В правоъгълния $\triangle AEB$ имаме $\frac{EB}{AE}=-cos2\alpha=>EB=-cos2\alpha\frac{b}{sin\alpha}.$

От синусова теорема в $ \triangle BEK$ имаме

$\frac{EB}{sin(3\alpha -90)}=\frac{KB}{sin(180-2\alpha)}$

$KB=\frac{cos2\alpha.b.sin2\alpha}{sin\alpha.(cos3\alpha)}$

От синусова теорема в $ \triangle BAK$ имамe

$\frac{KB}{sin(2\alpha-90)}=\frac{AK}{sin\alpha}$

$AK=\frac{KB.sin\alpha}{-cos2\alpha}= $ $\frac{cos2\alpha.b.sin2\alpha}{sin\alpha.cos3\alpha}$ $. \frac{sin\alpha}{-cos2\alpha}$

$AK=-\frac{b.sin2\alpha}{cos3\alpha}$

[Евва]

Реших я преди да разгледам изпратеното решение .
Мога да пратя своята версия ,ако антонийо иска .

[S.B.]

Без заглавие (75).png (330.82 KiB) Прегледано 1066 пъти

Ето и още един поглед върху задачата:
Синусова теорема за [tex]\triangle ABC \rightarrow \frac{AB}{sin(180^\circ - 2\alpha)} = \frac{b}{sin\alpha} \Rightarrow AB = \frac{b.sin2\alpha}{sin\alpha}[/tex]
За $\triangle AKB \rightarrow \angle ABK = \alpha , \angle BAK = \alpha - (90^\circ - \alpha) = 2\alpha - 90^\circ \Rightarrow \angle AKB = 270^\circ - 3\alpha$
Синусова теорема за $\triangle AKB \rightarrow \frac{AB}{sin(270^\circ - 3\alpha)} = \frac{AK}{sin\alpha} \Leftrightarrow AK = AB.\frac{sin\alpha}{sin(270^\circ - 3\alpha)}$
$AK = \frac{b.sin2\alpha}{sin\alpha}.\frac{sin\alpha}{- cos3\alpha}$
$$AK = - \frac{b.sin\alpha}{cos3\alpha}$$