седемцифрени числа

[антонийо]

Колко различни седемцифрени числа записани с четири цифри 5 и три цифри 6 може да се напишат ако шестиците не се една до друга ?
отг 10

[Добромир Глухаров]

Как можем да разпределим три обекта в седем позиции така, че никои два от обектите да не са един до друг?

1) Първият обект - в първа позиция.
1.1) Вторият обект - в трета позиция (във втора не може - съседна е на първата). Тогава за третия обект остават три различни възможни позиции - пета, шеста и седма. -> 3 конфигурации.
1.2) Вторият обект - в четвърта позиция. Третият - в шеста или седма. -> 2 конфигурации.
1.3) Вторият обект - в пета позиция. Третият - в седма. -> 1 конфигурация.
2) Първият обект - във втора позиция.
2.1) Вторият обект - в четвърта позиция. Третият - в шеста или седма. -> 2 конфигурации.
2.2) Вторият обект - в пета позиция. Третият - в седма. -> 1 конфигурация.
3) Първият обект - в трета позиция.
3.1) Вторият обект - в пета позиция. Третият - в седма. -> 1 конфигурация.

Общо - $3+2+1+2+1+1=10$ конфигурации.

[антонийо]

какво е това конфигурация
може ли по друг начин да обясните

[Добромир Глухаров]

Първата шестица може да бъде в първа, втора или трета позиция. Не може да бъде в четърта или по-нататък, защото ще се "сбутат" с останалите две - поне две от трите шестици ще се окажат една до друга. При първа шестица в първа позиция останалите две ще заемат местата от трето до седмо - $C_{7-2}^2$ възможни наредби (за да избегнем чуждицата "конфигурации") без $C_{7-2-1}^{2-1}=C_4^1$ от тях, при които втората и третата шестица са една до друга. При първа шестица във втора позиция останалите две ще заемат местата от четвърто до седмо - $C_{7-3}^2$ възможни наредби без $C_{7-3-1}^{2-1}=C_3^1$ от тях, при които втората и третата шестица са една до друга. И остава третата позиция за първата шестица, при която за втората и третата остават $C_3^2-C_2^1$ възможни наредби. Или общо $C_5^2-C_4^1+C_4^2-C_3^1+C_3^2-C_2^1=10-4+6-3+3-2=10$ наредби, отговарящи на условието на задачата.