На вниманието на зрелостниците

[S.B.]

Да се реши системата

[tex]\begin{array}{|l} (x^{2} + 1)(y^{2} + 1) = 10 \\ (x + y)(xy - 1) = 3 \end{array}[/tex]

[Меди]

Ако една система не се променя като разменим местата на неизвестните, казваме, че тя е симетрична. Полиномите $P_1(x, y)=(x^2+1)(y^2+1)$ и $P_2(x,y)=(x+y)(xy-1)$ са симетрични, защото $P_1(y,x)=(y^2+1)(x^2+1)=(x^2+1)(y^2+1)=P_1(x,y)$ и $P_2(y,x)=(y+x)(yx-1)=(x+y)(xy-1)=P_2(x,y)$. Такива системи е удобно да решаваме с полагането $x+y=u$ и $xy=v$. Не съм пробвал системата, но мисля, че предложението ми ще свърши работа. Утре ще пиша.

[pal702004]

Такива системи е удобно да решаваме с полагането $x+y=u$ и $xy=v$

В случая още по-добре $xy-1=v$, защото от една страна присъства в този вид като множител във второто уравнение, а от друга $(x^2+1)(y^2+1)=(xy-1)^2+(x+y)^2$

[S.B.]

Да се реши системата

[tex]\begin{array}{|l} (x^{2} + 1)(y^{2} + 1) = 10 \\ (x + y)(xy - 1) = 3 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} (x^{2} + 1)(y^{2} + 1) = 10\\( x + y)(xy -1) = 3 \end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l} x^{2}y^{2} + x^{2} + y^{2} = 9 \\ (x + y)(xy - 1) = 3 = 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} (xy)^{2} + (x + y)^{2} - 2xy = 9 \\ (x + y)(xy - 1) = 3 = 0 \end{array}[/tex]
Както препоръча колегата Stoyan Rysinov полагам :$x + y = u , xy = v$ ,замествам и получавам:

[tex]\begin{array}{|l} v^{2} + u^{2} - 2v = 9\\ u(v - 1) = 3 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} (u + v)^{2} -2uv - 2v = 9 \\ uv - u = 3 |.2\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} (u + v)^{2} - 2uv - 2v = 9 \\ 2uv - 2u = 6 \end{array}[/tex]
Събирам уравненията и получавам:
$ (u + v)^{2} - 2uv - 2v + 2uv - 2u = 15 \Leftrightarrow (u + v)^{2} - 2(u + v) - 15 = 0$
Полагам $u + v = t $ и получавам :$t^{2} - 2t - 15 = 0 ,D = 64 ,t_{1,2 } = \frac{2 \pm 8}{2} , t_{1 } = 5 , t_{2 } = - 3$
$\Rightarrow u + v = 5 , u + v = -3$
Комбинирам с второто уравнение и образувам следните 2 системи:

$\begin{array}{|l} u + v = 5 \\ u(v - 1) = 3 \end{array} \cup \begin{array}{|l} u + v = - 3 \\ u(v - 1) = 3 \end{array}$

$\begin{array}{|l} v = 5 - u \\ u(5 - u - 1) = 3 \end{array} \Leftrightarrow u^{2} - 4u + 3 = 0 , u_{1 } = 3 , v_{1 } = 2 ; u_{2 } = 1 ,v_{2 } = 4$

$\begin{array}{|l} u + v = -3 \\ u(v - 1) = 3 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} v = -3 - u \\ u( - 3 - u - 1) = 3 \end{array} \Leftrightarrow u^{2} + 4u + 3 = 0 \Rightarrow u_{3 } = - 1 , v_{3 } = - 2 ; u_{4 } = - 3 ,v_{4 } = 0$
Сега вече "връщам" първоначалната субституция $x + y = u , xy = v$ и получавам 4 системи:

[tex]\begin{array}{|l} x + y = 3 \\ x y = 2 \end{array} \cup \begin{array}{|l} x + y = 1 \\ x y = 4 \end{array} \cup \begin{array}{|l} x + y = - 1 \\ x y = -2 \end{array} \cup \begin{array}{|l} x + y = -3 \\ x y = 0 \end{array}[/tex]
Удоволствието от решаването на тези 4 системи любезно предоставям на зрелостниците