Система с логаритъм

[Делян Василев]

дзиии.png (20.62 KiB) Прегледано 1057 пъти

[S.B.]

[tex]\begin{array}{|l} log_{y }x - 3 log_{x }y = 2 \\ x - 2y^{2} + 1 = 0 \end{array}[/tex]
$DM_{x } \rightarrow x>0 , x \ne 1$ ; $DM_{y }\rightarrow y >0 , y\ne1$

$\begin{array}{|l} \displaystyle\frac{log_{x }x}{log_{x }y} - 3log_{x }y = 2\\ x - 2y^{2} + 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow\begin{array}{|l} \displaystyle\frac{1}{log_{x }y} - 3log_{x }y= 2\\ x - 2y^{2} + 1 = 0 \end{array}$
Полагам $log_{x }y = t$ и за първото уравнение получавам $3t^{2} + 2t - 1 = 0 ,D = 16 , t_{1 } = \frac{1}{3} , t_{2 } = - 1\Rightarrow $
$log_{x }y = \frac{1}{3} \Rightarrow x^{\frac{1}{3}} = y \Rightarrow x = y^{3}$
$log_{x }y = - 1 \Rightarrow x^{-1} = y \Rightarrow y = \frac{1}{x}$
Комбинирам с второто уравнение и образувам 2 системи:
$1) \begin{array}{|l} x = y^{3} \\ x - 2y^{2} + 1 = 0 \end{array} $ $\cup $ $2) \begin{array}{|l} y = \displaystyle\frac{1}{x} \\ x - 2y^{2} + 1 = 0 \end{array}$
$1)$ Посредством заместване се получава:
$ y^{3} - 2y^{2} + 1 = 0 \Leftrightarrow (y^{3} - y^{2}) - (y^{2} - 1) = 0 \Leftrightarrow y^{2}(y - 1) - (y - 1)(y + 1) = 0 \Leftrightarrow(y - 1)(y^{2} - y - 1) = 0$
$y = 0 \notin DM_{y } $ остава $ y^{2} - y - 1 = 0 ,D = 5 \Rightarrow $
$y_{1 , 2} = \frac{1 \pm\sqrt{5}}{2} , x_{1,2 } = (\frac{1 \pm\sqrt{5}}{2})^{3} $

$2)$ След заместване се получава:
$x - 2\frac{1}{x^{2}} + 1 = 0 \Leftrightarrow x^{3} + x^{2} - 2 = 0 \Leftrightarrow (x^{3} - 1) + (x^{2} - 1) = 0$
$ \Leftrightarrow(x - 1)(x^{2} + x + 1) + (x - 1)(x + 1) = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x^{2} + 2x + 2) = 0$
$x = 1 \notin DM_{x }$ остава $x^{2} + 2x + 2 = 0 ,D < 0 \Rightarrow$ няма реални корени
$$ [(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{3} ; \frac{1 + \sqrt{5}}{2}] , [(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^{3} ; \frac{1 - \sqrt{5}}{2})] $$

[Евва]

Вторият отговор принадлежи ли на D.M. ?