задача от 10 примерни теста за ДЗИ

[Тончоо]

Страната AC на триъгълник ABC е по - голяма от BC .Симетралата на AB пресича правата BC в точка M , а симетралата на BC пресича страната AC в точка N . Да се намери ъгъл ACB , ако CM / BC = 1 / 4 и AN / NC = 1 / 2 .

В задачата не трябва да се използва теорема на Менелай .Отг е 45 градуса

[KOPMOPAH]

Триъгълник и симетрали.png (7.33 KiB) Прегледано 1003 пъти

Приемаме $BD=1$, $BC=x$, $AN=y$, $\measuredangle ACB =\gamma$, $\measuredangle ABC =\beta$ . Прилагайки косинусова теорема стигаме до системата:

$$\begin{array}{|l} AB^2=AC^2+BC^2-2.AC.BC.\cos \gamma\\ AB^2=AN^2+NB^2-2.AN.NB.\cos 2\gamma \\ AC^2=AB^2+BC^2-2.AB.BC.\cos \beta\\ \cos \beta=\displaystyle \frac{BD}{BM} \end{array}$$където след заместване получаваме:$$\begin{array}{|l} 2^2=(3y)^2+x^2-2.x.3y.\cos \gamma\\ 2^2=y^2+(2y)^2-2.y.2y.\cos 2\gamma \\(3y)^2=2^2+x^2-2.2.x.\cos \beta\\ \cos \beta= \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac 54 x} \end{array}$$
Системата изглежда страшничка за несвикналия, но без особени проблеми се стига до $\cos \gamma = \frac{\sqrt 2}2\Rightarrow \gamma=45^\circ$.