Геометрична задача и тригонометрична функция

[Гост]

Здравейте! Имам нужда от две задачки, с които се мъча от известно време, но не мога да измисля как да реша точно. Бих била много благодарна, ако някой може да ми помогне.
1. Да се намерят всички стойности, които може да приема функцията [tex]f(x) = sinx^{4}x + cos^{4}x + sin 2x[/tex].
До тук стигнах [tex]f(x) = 1 - \frac{sin^{2}x}{4} + sin 2x[/tex] и не знам как да продължа.

2.Върху основата AB на равнобедрения [tex]\triangle ABC[/tex] е взета точка D така, че AD : DB = [tex]\sqrt{2}[/tex] и [tex]\angle ACD[/tex] = [tex]\angle BCD[/tex] = 2 : 1. Косинусът на [tex]\angle ACB[/tex] е:
Тук нямам идея, честно казано. Ако някой може да ми помогне, благодаря предварително. Или поне някакви насоки.

[Knowledge Greedy]

Остава да понижиш степента на квадрата на синуса [tex]sin^2 =\frac{1-cos2x}{2}[/tex]
Появяват се отново две функции, но с един и същ аргумент и свързани с известна формула от тригонометрията.
[tex]f(x)=\frac{7}{8}+\frac{1}{8}cos2x+sin2x[/tex]
От синуса и косинуса изнасяме така наречения нормиращ множител [tex]\frac{\sqrt{65}}{8}[/tex]

[tex]f(x)=\frac{7}{8}+ \frac{\sqrt{65}}{8}\left (\frac{1}{\sqrt{65}}cos2x+\frac{8}{\sqrt{65}}sin2x \right ) \,\ (\ast \ast)[/tex]

На основата на равенството [tex]\left (\frac{1}{\sqrt{65}}\right )^2+\left (\frac{8}{\sqrt{65}} \right )^2=1[/tex] правим извод, че съществува такова реално число [tex]\alpha[/tex],

че едновременно са изпълнени равенствата [tex]\begin{array}{|l} sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{65}} \\ cos \alpha =\frac{8}{\sqrt{65}} \end{array}[/tex]
Това означава, че равенството [tex](\ast \ast)[/tex] се записва така:

[tex]f(x)=\frac{7}{8}+ \frac{\sqrt{65}}{8}\left (sin \alpha cos2x+cos \alpha sin2x \right )[/tex]

[tex]f(x)=\frac{7}{8}+ \frac{\sqrt{65}}{8} sin(\alpha+2x)[/tex]

За всяко [tex]x[/tex] знаем, че [tex]-1\le sin(\alpha+2x) \le 1[/tex]
Затова [tex]- \frac{\sqrt{65}}{8} \le \frac{\sqrt{65}}{8} sin(\alpha+2x) \ \frac{\sqrt{65}}{8}[/tex]
Остана да добавим [tex]\frac{7}{8}[/tex] към трите страни на неравенствата и получаваме [tex]\frac{7-\sqrt{65}}{8} \le f(x) \ \frac{7+\sqrt{65}}{8}[/tex], което търсехме.

[Гост]

Благодаря много!

[Евва]

2 зад. Може би си искал(а) да напишеш
[tex]\angle[/tex]ACD:[tex]\angle[/tex]BCD=2:1
Получих cos[tex]\angle[/tex]ACB= -[tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] т.е. [tex]\angle[/tex]АСВ=135[tex]^\circ[/tex]
Греша ли ?

[Knowledge Greedy]

Триангулация тангенси равнобедрен косинусова 1.png (4.72 KiB) Прегледано 2522 пъти

Нека M е средата на основата. Да приемем, че основата е [tex]2\sqrt{2}+2[/tex]
Следователно [tex]MD=\sqrt{2}-1[/tex] , а [tex]MB=\sqrt{2}+1[/tex]
Означаваме ъгъла при върха с [tex]\gamma = 6x[/tex]
Търсим [tex]cos\gamma[/tex], а разполагаме с бързо изразяване на тангенси на [tex]x[/tex] и [tex]3x[/tex] - от правоъгълните [tex]\triangle MDC[/tex] и [tex]\triangle MBC[/tex]
[tex]tg3x=\frac{\sqrt{2}+1}{h}[/tex]
[tex]tgx=\frac{\sqrt{2}-1}{h}[/tex]
Частното им редуцира височината [tex]h[/tex] и се получава [tex]tg3x =(\sqrt{2}+1)^2tgx[/tex] (1)
От друга страна си има формула за връзка между тези тангенси, получава се от основната формула [tex]tg3x=\frac{tg2x+tgx}{1-tg2xtgx}[/tex] и ако положим [tex]tgx=t[/tex]
[tex]tg3x=\frac{\frac{2t}{1-t^2}+t}{1-\frac{2t}{1-t^2}t}[/tex] (2)
От системата [tex]\begin{array}{|l} (1) \\ (2) \end{array}[/tex] получаваме уравнението [tex](\sqrt{2}+1)^2=\frac{t^2-3}{3t^2-1}[/tex] (защото [tex]t\ne 0[/tex])
От това непълно квадратно уравнение, сравнително кратко се получава [tex]t^2=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}[/tex] и понеже [tex]x[/tex] е остър ъгъл, следва [tex]tgx=\sqrt{2}-1[/tex] - след рационализиране.
Остава да получим [tex]cos6x[/tex].
Тук вече видях отговора на S.B. и се съгласявам, че по-бързо ще е да съобразим [tex]x=22^\circ 30'[/tex] ([tex]tg^2x=\frac{1-cos2x}{1+cos2x}=3-2\sqrt{2} \,\ \Rightarrow \,\ cos2x=\frac{1}{\sqrt{2}} \,\ \Rightarrow \,\ 2x=45^\circ[/tex])
Значи [tex]\gamma =135^\circ[/tex]
И ако търсим косинуса, [tex]cos\gamma =-\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

[Гост]

не е 2:1, точно [tex]\sqrt{2}[/tex] е
и още един въпрос към Knowledge greedy, това горното не е ли отношение? защо го смяташ така все едно е дължината на страните?

[Knowledge Greedy]

не е 2:1, точно [tex]\sqrt{2}[/tex] е
и още един въпрос към Knowledge greedy, това горното не е ли отношение? защо го смяташ така все едно е дължината на страните?

Задачата е определена, както се казва "с точност до подобие" - има отношения и ъгли. Това означава, че може или да изберем параметър или с конкретна фигура да работим. В случая неутралният параметър можеше да бъде примерно [tex]BD=1[/tex], оттук нататък заковавам фигурата вече "до еднаквост" - задължително [tex]AD=\sqrt{2}[/tex].

Иначе пишем двойно.

[Евва]

2 зад.(2 начин) Означих - AC=BC=a ,AD=x[tex]\sqrt{2}[/tex] ,DB=x ,[tex]\angle[/tex]ACD=2[tex]\gamma[/tex] ,[tex]\angle[/tex]BCD=[tex]\gamma[/tex]
cos 3[tex]\gamma[/tex]=?
Построих отсечка CL -ъглополовяща в [tex]\triangle[/tex]ADC (т.L лежи на отс. AD)

Скрит текст: покажи

[tex]\triangle[/tex]ALC[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]DBC (2признак) [tex]\Rightarrow[/tex] AL=DB=x

(CL-ъглополовяща) [tex]\frac{AL}{DL}[/tex]=[tex]\frac{AC}{DC}[/tex] ; [tex]\frac{AL}{AD-AL}[/tex]=[tex]\frac{AC}{DC}[/tex] ; [tex]\frac{x}{x(\sqrt{2}-1)}[/tex]=[tex]\frac{a}{DC}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] DC=a([tex]\sqrt{2}[/tex]-1) (1)

(sin T за [tex]\triangle[/tex]DBC) [tex]\frac{DC}{sin(90^\circ-\frac{3\gamma}{2})}[/tex]=[tex]\frac{BC}{sin(90^\circ+\frac{\gamma}{2})}[/tex] (виж (1))

[tex]\frac{a(\sqrt{2}-1)}{cos\frac{3\gamma}{2}}[/tex]=[tex]\frac{a}{cos\frac{\gamma}{2}}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] cos[ 3([tex]\frac{\gamma}{2}[/tex]) ]=([tex]\sqrt{2}[/tex]-1)cos[tex]\frac{\gamma}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] 4[tex]cos^{3}[/tex][tex]\frac{\gamma}{2}[/tex]-3cos[tex]\frac{\gamma}{2}[/tex]=([tex]\sqrt{2}[/tex]-1)cos[tex]\frac{\gamma}{2}[/tex] |:cos[tex]\frac{\gamma}{2}[/tex][tex]\ne[/tex]0

2[ 2[tex]cos^{2}[/tex][tex]\frac{\gamma}{2}[/tex]]=[tex]\sqrt{2}[/tex]-1+3 ; 2(1+cos[tex]\gamma[/tex])=[tex]\sqrt{2}[/tex]+2 ; cos[tex]\gamma[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

[tex]\gamma[/tex]=45[tex]^\circ[/tex] ; cos3[tex]\gamma[/tex]=cos135[tex]^\circ[/tex]=cos(90[tex]^\circ[/tex]+45[tex]^\circ[/tex])= -sin45[tex]^\circ[/tex] = -[tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]